Question

（1）閱讀以下內(nèi)容：

(x-1)(x+1)=x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 …

①根據(jù)以上規(guī)律，可得（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=

xⁿ⁺¹-1

（n為正整數(shù)）；
②根據(jù)這一規(guī)律，計(jì)算：1+2+2²+2³+2⁴+…2²⁰¹¹+2²⁰¹²+2²⁰¹³=

2²⁰¹⁴-1

．
（2）閱讀下列材料，回答問(wèn)題：
關(guān)于x的方程：x+

1

x

=a+

1

a

的解是x₁=a，x2=

1

a

；x+

2

x

=a+

2

a

的解是x₁=a，x2=

2

a

；x+

3

x

=a+

3

a

的解是x₁=a，x2=

3

a

；
…
①請(qǐng)觀察上述方程與解的特征，猜想關(guān)于x的方程x+

m

x

=a+

m

a

(m≠0)的解；
②請(qǐng)你寫(xiě)出關(guān)于x的方程x+

2

x-3

=m+

2

m-3

的解．

Answer 1

分析：（1）①觀察一系列等式得到一般性規(guī)律，即可確定出所求式子的結(jié)果；②利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）①觀察一系列方程的解得出一般性規(guī)律，即可得到所求方程的解；②方程變形后，利用得出的規(guī)律即可求出解．

解答：解：（1）①根據(jù)題意得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
②原式=（2-1）（1+2+2²+2³+2⁴+…2²⁰¹¹+2²⁰¹²+2²⁰¹³）-1
=2²⁰¹⁴-1；

（2）①根據(jù)題意得：方程的解為x₁=a，x₂=

m

a

；
②方程變形得：x-3+

2

x-3

=m-3+

2

m-3

，
∴x-3=m-3，x-3=

2

m-3

，
則x₁=m，x₂=

3m-7

m-3

．
故答案為：（1）①xⁿ⁺¹-1；②2²⁰¹⁴-1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式方程的解，屬于規(guī)律型試題，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．