Question

已知拋物線y＝x²＋(2n－1)x＋n²－1(n為常數(shù))．

(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，并且頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，求出它所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側(cè)的一個動點(diǎn)，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．

①當(dāng)BC＝1時(shí)，求矩形ABCD的周長；

②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)由已知條件，得n2－1＝0 　　解這個方程，得n1＝1，n2＝－1 　　當(dāng)n＝1時(shí)，得y＝x2＋x，此拋物線的頂點(diǎn)不在第四象限． 　　當(dāng)n＝－1時(shí)，得y＝x2－3x，此拋物線的頂點(diǎn)在第四象限． 　　∴所求的函數(shù)關(guān)系為y＝x2－3x． 　　(2)由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3 　　∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為(3，0) 　　∴它的頂點(diǎn)為(，)，對稱軸為直線x＝，其大致位置如圖所示， 　�、佟連C＝1，由拋物線和矩形的對稱性易知OB＝×(3－1)＝1． 　　∴B(1，0) 　　∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x＝1，又點(diǎn)A在拋物線y＝x2－3x上， 　　∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y＝12－3×1＝－2． 　　∴AB＝|y|＝|－2|＝2． 　　∴矩形ABCD的周長為：2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6． 　�、凇唿c(diǎn)A在拋物線y＝x2－3x上，故可設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，x2－3x)， 　　∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，0)．(0＜x＜) 　　∴BC＝3－2x，A在x軸下方， 　　∴x2－3x＜0， 　　∴AB＝|x2－3x|＝3x－x2 　　∴矩形ABCD的周長 　　P＝2[(3x－x2)＋(3－2x)]＝－2(x－)2＋ 　　∵a＝－2＜0， 　　∴當(dāng)x＝時(shí)，矩形ABCD的周長P最大值為． 　　此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(，)．