Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EF、EO，若DE=2

3

，∠DPA=45°．則圖中陰影部分的面積為

π-2

．

Answer 1

分析：根據(jù)垂徑定理得CE的長，再根據(jù)已知DE平分AO得CO=

1

2

AO=

1

2

OE，解直角三角形求解，再求出扇形的圓心角，再根據(jù)扇形面積和三角形的面積公式計算即可．

解答：解：連接OF．
∵直徑AB⊥DE，
∴CE=

1

2

DE=

3

．
∵DE平分AO，
∴CO=

1

2

AO=

1

2

OE．
又∵∠OCE=90°，
∴sin∠CEO=

CO

EO

=

1

2

，
∴∠CEO=30°．
在Rt△COE中，
OE=

CE

cos30°

=

3

3 2

=2．
∴⊙O的半徑為2．
在Rt△DCP中，
∵∠DPC=45°，
∴∠D=90°-45°=45°．
∴∠EOF=2∠D=90°．
∴S_扇形OEF=

90

360

×π×2²=π．
∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，
∴S_Rt△OEF=

1

2

×OE×OF=2．
∴S_陰影=S_扇形OEF-S_Rt△OEF=π-2．
故答案為：π-2．

點評：此題綜合考查了垂徑定理和解直角三角形及扇形的面積公式．根據(jù)已知得出圓的半徑是解題關(guān)鍵．