Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）、B（8，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-4）．直線y=x+m與拋物線交于點(diǎn)D、E（D在E的左側(cè)），與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，求∠DCF的大小；
（3）若在直線y=x+m下方的拋物線上存在點(diǎn)P，使得∠DPF=45°，且滿足條件的點(diǎn)P只有兩個(gè)，則m的值為

 

．（第（3）問不要求寫解答過程）

Answer 1

分析：（1）已知拋物線過A（-2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+2）（x-8），再將點(diǎn)C（0，-4）代入求a即可；
（2）由拋物線解析式可知對稱軸為x=3，與y軸的交點(diǎn)（0，-4），可求MC的長，y=x+2，可知D、F兩點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算DM，F(xiàn)M，判斷C、D、F三點(diǎn)在以M為圓心的圓上，利用圓周角定理求∠DCF的大小；
（3）當(dāng)直線y=x+m下方的拋物線上存在點(diǎn)P，使得∠DPF=45°，且滿足條件的點(diǎn)P只有兩個(gè)時(shí)，仿照（2）可求滿足條件的m的值．

解答：解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8），
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），
∴-4=a（0+2）（0-8）．
解得a=

1

4

．
∴拋物線的解析式為y=

1

4

(x+2)(x-8)，即y=

1

4

x2-

3

2

x-4；

（2）由（1）可得拋物線的對稱軸為x=3，
∵m=2，
∴直線的解析式為y=x+2，
∵直線y=x+2與拋物線交于點(diǎn)D、E，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)F，
∴F、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F（3，5），D（-2，0）．
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，
可得CM=FM=MD=5，
∴F、D、C三點(diǎn)在以M為圓心，半徑為5的圓上．
∴∠DCF=

1

2

∠DMF=45°．

（3）由拋物線解析式可知，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（3，-

25

4

）
設(shè)F（3，3+m），則FG=m+3+

25

4

，設(shè)D關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為D₁，
當(dāng)四邊形DGD₁F為正方形時(shí)，滿足題意，此時(shí)P點(diǎn)與頂點(diǎn)G重合，或者與D₁重合，
故DD₁=F′G，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x=-（

1

2

F′G-3）=-

4m+13

8

，縱坐標(biāo)為-（

1

2

F′G-3-m）=

4m-13

8

，
將D點(diǎn)坐標(biāo)拋物線解析式，解得m=-

5

4

．

點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，已知拋物線與x軸的兩交點(diǎn)，可設(shè)交點(diǎn)式，綜合運(yùn)用圓的知識，解答拋物線中角的問題．