Question

某公司銷售一種新型節(jié)能產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備從國(guó)內(nèi)和國(guó)外兩種銷售方案中選擇一種進(jìn)行銷售．
若只在國(guó)內(nèi)銷售，銷售價(jià)格y（元/件）與月銷量x（件）的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

100

x+150，成本為20元/件，無(wú)論銷售多少，每月還需支出廣告費(fèi)62500元，設(shè)月利潤(rùn)為w_內(nèi)（元）（利潤(rùn)=銷售額-成本-廣告費(fèi)）．
若只在國(guó)外銷售，銷售價(jià)格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數(shù)，10≤a≤40），當(dāng)月銷量為x（件）時(shí)，每月還需繳納

1

100

x²元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤(rùn)為w_外（元）（利潤(rùn)=銷售額-成本-附加費(fèi)）．
（1）當(dāng)x=1000時(shí)，y=

 

元/件，w_內(nèi)=

 

元；
（2）分別求出w_內(nèi)，w_外與x間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫x的取值范圍）；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，在國(guó)內(nèi)銷售的月利潤(rùn)最大？若在國(guó)外銷售月利潤(rùn)的最大值與在國(guó)內(nèi)銷售月利潤(rùn)的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要將5000件產(chǎn)品全部銷售完，請(qǐng)你通過(guò)分析幫公司決策，選擇在國(guó)內(nèi)還是在國(guó)外銷售才能使所獲月利潤(rùn)較大？
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）．

Answer 1

分析：（1）將x=1000代入函數(shù)關(guān)系式求得y，并根據(jù)等量關(guān)系“利潤(rùn)=銷售額-成本-廣告費(fèi)”求得w_內(nèi)；
（2）根據(jù)等量關(guān)系“利潤(rùn)=銷售額-成本-廣告費(fèi)”“利潤(rùn)=銷售額-成本-附加費(fèi)”列出兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式；
（3）對(duì)w_內(nèi)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式求得最大值，再求出w_外的最大值并令二者相等求得a值；
（4）通過(guò)對(duì)國(guó)內(nèi)和國(guó)外的利潤(rùn)比較，又由于a值不確定，故要討論a的取值范圍．

解答：解：（1）x=1000，y=-

1

100

×1000+150=140，
w_內(nèi)=（140-20）×1000-62500=57500．

（2）w_內(nèi)=x（y-20）-62500=-

1

100

x²+130x-62500，
w_外=-

1

100

x²+（150-a）x．

（3）當(dāng)x=-

130

2×(- 1 100 )

=6500時(shí)，w_內(nèi)最大；
由題意在國(guó)外銷售月利潤(rùn)的最大值與在國(guó)內(nèi)銷售月利潤(rùn)的最大值相同，得：

0-(150-a)2

4×(- 1 100 )

=

4×(- 1 100 )×(-62500)-1302

4×(- 1 100 )

，
解得a₁=30，a₂=270（不合題意，舍去）．
∴a=30．

（4）當(dāng)x=5000時(shí)，w_內(nèi)=337500，w_外=-5000a+500000．
若w_內(nèi)＜w_外，則a＜32.5；
若w_內(nèi)=w_外，則a=32.5；
若w_內(nèi)＞w_外，則a＞32.5．
∴當(dāng)10≤a＜32.5時(shí)，選擇在國(guó)外銷售；
當(dāng)a=32.5時(shí)，在國(guó)外和國(guó)內(nèi)銷售都一樣；
當(dāng)32.5＜a≤40時(shí)，選擇在國(guó)內(nèi)銷售．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合類題目，考查了同學(xué)們運(yùn)用函數(shù)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．