Question

（2011•宜州市一模）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OA₁B₁C的對角線A₁C和OB₁交于點M₁，以M₁A₁為對角線作第二個正方形A₂A₁B₂M₁，對角線A₁M₁和A₂B₂交于點M₂；以M₂A₁為對角線作第三個正方形A₃A₁B₃M₂，對角線A₁M₂和A₃B₃交于點M₃；…依此類推，這樣作的第n個正方形對角線交點M_n的坐標為（　�。�

• A．(

  2n-1

  2n

  ，

  1

  2n

  )
• B．(1+

  1

  2n

  ，

  1

  2n

  )
• C．(

  2n+1

  2n

  ，

  1

  2n

  )
• D．(

  1

  2n

  ，

  2n-1

  2n

  )

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，設OM₁=M₁A₁=x，由勾股定理得到方程x²+x²=1²，解方程求出x的值，同理可以求出其它正方形的邊長，進而得到M₁的坐標，M₂的坐標，…，依此類推可求出第n個正方形對角線交點M_n的坐標．

解答：解：設正方形的邊長為1，
則正方形四個頂點坐標為O（0，0），C（0，1），B₁（1，1），A₁（1，0），
在正方形OA₁B₁C中，
∴OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，
設OM₁=M₁A₁=x，
由勾股定理得：x²+x²=1²，
解得：x=

2

2

，
同理可求出OA₂=A₂M₁=

1

2

，A₂M₂=

2

4

，A₂A₃=

1

4

，…，
根據(jù)正方形對角線定理得M₁的坐標為（ 1-

1

2

，

1

2

）；
同理得M₂的坐標為（ 1-

1

22

，

1

22

）；
M₃的坐標為（ 1-

1

23

，

1

23

），
…，
依此類推：M_n坐標為（ 1-

1

2n

，

1

2n

）=（

2n-1

2n

，

1

2n

）．
故選A

點評：本題主要考查對正方形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理等知識點的理解和掌握，能根據(jù)求出的數(shù)據(jù)得到規(guī)律是解此題的關鍵．