Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，動(dòng)正方形DEFG的頂點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上的運(yùn)動(dòng)（D不與A，B重合），且邊DE一直保持與邊BC平行．
（1）求△ABC的面積；
（2）當(dāng)邊FG與邊BC重合時(shí)，求正方形DEFG的邊長；
（3）設(shè)AD=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求的AH，然后利用三角形的面積公式即可求解．
（2）設(shè)此時(shí)正方形的邊長為a，（如圖2）根據(jù)△ADE∽△ABC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得正方形DEFG的邊長；
（3）如圖2，根據(jù)△ADE∽△ABC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得AD，這樣自變量x的取值范圍為2個(gè)部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．然后再分別根據(jù)當(dāng)0＜x≤2時(shí)，如圖1，△ADE∽△ABC和，當(dāng)2＜x＜5時(shí)，如圖3，△BDP∽△BAH，求y即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H．
∵AB=AC=5，
∴△ABC為等腰三角形，
∴BH=CH=3．
∴AH=4．
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AH=12；

（2）設(shè)此時(shí)正方形的邊長為a，（如圖2）
∵△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AM

AH

，即

a

6

=

4-a

4

．
解得a=

12

5

．
故正方形DEFG的邊長為

12

5

；

（3）如圖2，∵△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

，即AD=2．
這樣自變量x的取值范圍為2個(gè)部分，即0＜x≤2和2＜x＜5．
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，如圖1，△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

，即DE=

6

5

x．
∴y=DE²=(

6

5

x)2=

36

25

x²；
當(dāng)2＜x＜5時(shí)，如圖3，△BDP∽△BAH，
∴

BD

BA

=

DP

AH

，即

5-x

5

=

DP

4

．
∴DP=

4

5

（5-x）．
∴y=DE×DP=

6

5

x×

4

5

（5-x）=

24

5

x-

24

25

x²．
故所求函數(shù)關(guān)系式為y=

36 25 x2(0＜x≤2) 24 5 x- 24 25 x2(2＜x＜5).

點(diǎn)評(píng)：此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，有勾股定理．正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，利用學(xué)生系統(tǒng)的掌握知識(shí)，是一道好題．