Question

在兩個三角形的六對元素（三對角與三對邊）中，即使有五對元素分別相等，這兩個三角形也未必全等．
（1）試給出一個這樣的例子，畫出簡圖，分別標出兩個三角形的邊長．
（2）為了把所有這樣的反例都構造出來，試探求并給出構造反例的一般規(guī)律（要求過程完整，述理嚴密，結論明晰）．

Answer 1

解：（1）如下圖，△ABC與△A′B′C′是相似的（相似比為），但它們并不全等，顯然它們之中有五對元素是對應相等的．（答案不唯一）


（2）容易知道，要構造的兩個三角形必不是等腰三角形，同時它們應是相似的．
設小△ABC的三邊長分別為a、b、c，且不妨設a＜b＜c，由小△ABC到大△A′B′C′的相似比為k，則k＞1．
∵△A′B′C′的三邊長分別為ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc
∴在△ABC中，與△A′B′C′中兩邊對應相等的兩條邊只可能是b與c
∵b＜c＜kc
∴在△A′B′C′中，與b、c對應相等的兩條邊只可能是ka、kb
∴．
∴由a到b、由b到c應具有相同的放大系數（a、b、c成公比為k的等比數列），這個系數恰為△ABC與△A′B′C′的相似比k．
下面考慮相似比k所受到的限制：
∵△ABC的三邊長分別為a、ka、k²a，且a＞0，k＞1
∴a+ka＞k²a
解之得1＜k＜（注：≈1.168）
因此構造反例時，只要先選取一個正數a作為△ABC最小邊的長，再設定一個1～1.168之間的放大系數k，從而寫出另外兩條邊的長ka、k²a．然后在△ABC的基礎上，以前面的放大系數k為相似比，再寫出另一個△A′B′C′的三邊長ka、k²a、k³a．通過這種方法，可以構造出大量符合題意的反例．
分析：（1）本題可以舉出一個實例，讓它滿足題目的已知條件而結論不滿足．相等的幾個元素對應的位置不同，則兩個三角形就不全等．
（2）要構造的兩個三角形必不是等腰三角形，同時它們應是相似的，只要先選取一個正數a作為△ABC最小邊的長，再寫出另一個△A′B′C′的三邊長ka、k²a、k³a；然后根據三角形三邊關系定理確定k的取值范圍．
點評：本題主要考查了構造反例的方法．是較難把握的問題．