Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上求點(diǎn)M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)C，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)、B、P、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，代入原點(diǎn)坐標(biāo)即可求出答案；
（2）由△AOB和所求△MOB同底不等高，得出△MOB的高是△AOB高的3倍，可知拋物線上點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，因此建立方程解答即可；
（3）由平行四邊形的判定，對(duì)邊平行且相等，進(jìn)一步利用對(duì)稱性即可解答．

解答：解：（1）由題意，可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，
∵拋物線過原點(diǎn)，
∴a（0-2）²+1=0，
a=-

1

4

；
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

（x-2）²+1=-

1

4

x²+x；

（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S_△MOB=3S_△AOB，
∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-3，
∴-3=-

1

4

x²+x，
即x²-4x-12=0，
解得x₁=6，x₂=-2；
∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)：M₁=（6，-3），M₂=（-2，-3）；

（3）存在；
由OB=CP=4，P的橫坐標(biāo)為6或-2，代入拋物線解析式得y=-

1

4

x²+x=-3，
P（6，-3）或（-2，-3），
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P（2，-1）也為所求，
因此存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（6，-3），P₂（-2，-3），P₃（2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，三角形的面積以及平行四邊形判定的運(yùn)用，是一道綜合性很強(qiáng)的題目．