Question

【題目】如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是　 　，線段AD的長(zhǎng)等于　 　；

（2）點(diǎn)M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，M，求拋物線的解析式；

（3）如果點(diǎn)E在y軸上，且位于點(diǎn)C的下方，點(diǎn)F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以C，E，F，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出該菱形的周長(zhǎng)l；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）（0，3）；4；（2）；（3）拋物線上存在點(diǎn)P，使得以C，E，F，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

【解析】

（1）首先求出圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)以及線段AD的長(zhǎng)；

（2）首先得出點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，即可得出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

（3）分別根據(jù)當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左邊時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右邊時(shí)，分析四邊形CFPE為菱形得出即可．

（1）∵與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴y=0時(shí)，x=﹣3，x=0時(shí)，y=1．

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1）．

∴OC=3，DO=1．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），線段AD的長(zhǎng)等于4．

（2）∵CM=OM，

∴∠OCM=∠COM．

∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，

∴∠ODM=∠MOD．

∴OM=MD=CM．

∴點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．

∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，M，

∴，解得：．

∴拋物線y=x2+bx+c的解析式為：．

（3）情形1：如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左邊時(shí)，四邊形CFEP為菱形，

∴∠FCE=PCE．

由題意可知，OA=OC，

∴∠ACO=∠PCE=45°．

∴∠FCP=90°．

∴菱形CFEP為正方形．

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥CE，垂足為H，

則Rt△CHP為等腰直角三角形．

∴CP=CH=PH．

設(shè)點(diǎn)P為（x，），則OH=，PH=x，

∵PH=CH=OC﹣OH，

∴，

解得：x1=， x2=0（舍去）．

∴CP=CH=．

∴菱形CFEP的周長(zhǎng)l為：．

情形2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右邊時(shí)，四邊形CFPE為菱形，

∴CF=PF，CE∥FP．

∵直線AC過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（0，3），

∴直線AC的解析式為：y=x+3．

過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PF，垂足為M，

則Rt△CMF為等腰直角三角形，CM=FM．

延長(zhǎng)PF交x軸于點(diǎn)N，則PN⊥x軸，

∴PF=FN﹣PN．

設(shè)點(diǎn)P為（x，），則點(diǎn)F為（x，x+3），

∴．

∴，

解得：，x2=0（舍去）．

∴．

∴菱形CFEP的周長(zhǎng)l為：）．

綜上所述，這樣的菱形存在，它的周長(zhǎng)為或．