Question

如圖，過點A（1，0）作x軸的垂線與直線y=x相交于點B，以原點O為圓心、OA為半徑的圓與y軸相交于點C、D，拋物線y=x²+px+q經過點B、C．
（1）求p、q的值；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸相交于點E，連接CE并延長與⊙O相交于點F，求EF的長；
（3）記⊙O與x軸負半軸的交點為G，過點D作⊙O的切線與CG的延長線相交于點H．點H是否在拋物線上？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點A（1，0）作x軸的垂線與直線y=x相交于點B，從而求出B點的坐標，以及C點的坐標，將B，C分別代入即可求出p，q的值；
（2）運用配方法求出二次函數的頂點坐標，再利用勾股定理求出CE的長，由Rt△CFD∽Rt△COE，求出EF的長；
（3）首先求出直線CG為：y=-x-1，進而求出點H的坐標為（-2，1）．代入解析式即可．

解答：解：
（1）∵點A（1，0）作x軸的垂線與直線y=x相交于點B點，
∴B（1，1），
∵以原點O為圓心、OA為半徑的圓與y軸相交于點C、點A（1，0），
∴C（0，-1）．
代入y=x²+px+q，得，p=1，q=-1．

（2）由y=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，
得CE=

OE2+1

=

5

2

．
連接DF．由Rt△CFD∽Rt△COE，
得

CD

CE

=

CF

CO

．
∴CF=

4 5

5

．
∴EF=CF-CE=

3 5

10

．

（3）設過點C、G的直線為y=kx+b．
將點C（0，-1），G（-1，0）代入，
得直線CG為：y=-x-1．
過點D作⊙O的切線與CG的延長線相交于點H．
∵DH平行于x軸，∴點H的縱坐標為1．
將y=1代入y=-x-1，得x=-2．
∴點H的坐標為（-2，1）．
又當x=-2時，y=x²+x-1=1，
∴點H在拋物線y=x²+x-1上．

點評：此題主要考查了二次函數綜合應用以及相似三角形的性質與判定和待定系數法求函數解析式等知識，主要考查學生數形結合的數學思想方法．