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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】拋物線y=﹣ (x﹣1)2+3與y軸交于點A,頂點為B,對稱軸BC與x軸交于點C.

          (1)如圖1.求點A的坐標及線段OC的長;
          (2)點P在拋物線上,直線PQ∥BC交x軸于點Q,連接BQ.
          ①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置.其中,一個頂點與點C重合,直角頂點D在BQ上,另一個頂點E在PQ上.求直線BQ的函數解析式;
          ②若含30°角的直角三角板一個頂點與點C重合,直角頂點D在直線BQ上,另一個頂點E在PQ上,求點P的坐標.

          【答案】
          (1)

          解:把x=0代入拋物線得:y= ,

          ∴點A(0, ).

          拋物線的對稱軸為x=1,

          ∴OC=1


          (2)

          解:①如圖:B(1,3)

          分別過點D作DM⊥x軸于M,DN⊥PQ于點N,

          ∵PQ∥BC,

          ∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°,

          ∴四邊形DMQN是矩形.

          ∵△CDE是等腰直角三角形,

          ∴DC=DE,∠CDM=∠EDN

          ,

          ∴△CDM≌△EDN(AAS)

          ∴DM=DN,

          ∴矩形DMQN是正方形,

          ∴∠BQC=45°

          ∴CQ=CB=3

          ∴Q(4,0)

          設BQ的解析式為:y=kx+b,

          把B(1,3),Q(4,0)代入解析式得:k=﹣1,b=4.

          所以直線BQ的解析式為:y=﹣x+4.

          ②當點P在對稱軸右側,如圖:

          過點D作DM⊥x軸于M,DN⊥PQ于N,

          ∵∠CDE=90°,∴∠CDM=∠EDN

          ∴△CDM∽△EDN

          當∠DCE=30°, =

          又DN=MQ

          =

          = ,BC=3,CQ=

          ∴Q(1+ ,0)

          ∴P1(1+

          當∠DCE=60°,點P2(1+3 ,﹣ ).

          當點P在對稱軸的左邊時,由對稱性知:

          P3(1﹣ ),P4(1﹣3 ,﹣

          綜上所述:P1(1+ , ),P2(1+3 ,﹣ ),P3(1﹣ ),P4(1﹣3 ,﹣ ).


          【解析】(1)把x=0代入拋物線求出y的值確定點A的坐標,求出拋物線的對稱軸得到OC的長.(2)①由△CDE是等腰直角三角形,分別過點D作x軸和PQ的垂線,通過三角形全等得到∠DQO=45°,求出點Q的坐標,然后用待定系數法求出BQ的解析式.②分點P在對稱軸的左右兩邊討論,根據相似三角形先求出點Q的坐標,然后代入拋物線求出點P的坐標.

          練習冊系列答案
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          中位數/

          眾數/

          A

          ______

          85

          ______

          B

          85

          ______

          100

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