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        1. 【題目】如圖,已知拋物線x軸交于A(10)B(3,0)兩點與y軸交于點C,D為拋物線頂點.

          1)求拋物線的解析式;

          2)如圖1,過點C的直線交拋物線于另一點E,若∠ACE=60°,求點E的坐標.

          3)如圖2,直線交拋物線于PQ兩點,求△DPQ面積的最小值.

          【答案】1;(2;(3△DPQ面積的最小值為

          【解析】

          1)由拋物線與x軸的兩個交點坐標A1,0),B30),可代入點的坐標即可得解;

          2)過點AAFACAC的延長線于點F,過點FFGx軸交x軸于點G,可證明AOC∽△FGA,利用60°角的銳角三角函數(shù)值和比例線段可求出AGFG的長,則F點坐標為(10,),求得直線CF的解析式,與拋物線方程聯(lián)立即求出點E的坐標;

          3)過點DDMy軸交PQ于點M,由拋物線頂點D的坐標可知DM=2,若DPQ面積有最小值,則底邊是定值,點P和點Q的橫坐標之差的絕對值最。(lián)立直線與拋物線方程可用k表示出點P和點Q的橫坐標之差的絕對值,即可得解.

          解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+3x軸交于A1,0),B3,0)兩點

          解得:a=b=;

          ∴所求拋物線的解析式為:;

          2)如圖1所示,過點AAF⊥ACCE的延長線于點F,過點FFG⊥x軸交x軸于點G,

          ∠COA=∠CAF=∠FGA=90°,

          ∠OCA=∠GAF∠OAC=∠GFA

          △AOC△FGA,

          又∵△CAF是直角三角形,∠ACE=60°

          ,

          OC=3,OA=1,

          FG=,AG=9,

          F

          設(shè)直線CF的解析式為:y=mx+n,

          分別代入上式,

          ,

          解得:,

          ∴直線CF的解析式為:

          聯(lián)立直線CF與拋物線的解析式得

          ,

          解得:(不符合題意),,

          ∴所求點E的坐標為:;

          3)如圖2,過點DDM∥y軸交PQ于點M,

          =

          x=2代入直線y=kx-2k+y=,

          DM=

          ,

          整理得

          P、Q兩點的橫坐標x1、x2為方程的兩根,

          ==,

          k=0時,的最小值為8,此時|x1-x2|的最小值為2

          =|x1-x2|

          △DPQ面積的最小值為:

          練習冊系列答案
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          (1)求點E的坐標;

          (2)求拋物線的函數(shù)解析式;

          (3)點F為線段OB上的一個動點(不與點O、B重合),直線EF與拋物線交于M、N兩點(點Ny軸右側(cè)),連接ON、BN,當四邊形ABNO的面積最大時,求點N的坐標并求出四邊形ABNO面積的最大值.

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          (2) 連結(jié)OC交DE于點F,若,求的值.

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