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        1. 已知:如圖,⊙O與⊙O′內(nèi)切于點(diǎn)B,BC是⊙O的直徑,BC=6,BF為⊙O′的直徑,BF=4,精英家教網(wǎng)⊙O的弦BA交⊙O′于點(diǎn)D,連接DF、AC、CD.
          (1)求證:DF∥AC;
          (2)當(dāng)∠ABC等于多少度時(shí),CD與⊙O′相切并證明你的結(jié)論;
          (3)在(2)的前提下,連接FA交CD于點(diǎn)E,求AF、EF的長.
          分析:(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,就可以證出結(jié)論;
          (2)當(dāng)∠ABC=30°時(shí),CD與⊙O相切.連接O′D,證明CD與⊙O’相切可以證明∠O′DC=90°就可以;
          (3)在Rt△ADF中根據(jù)勾股定理就可以求出AF的長,然后利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得EF的長.
          解答:精英家教網(wǎng)(1)證法一:∵BC是⊙O的直徑,BF是⊙O′的直徑,(1分)
          ∴∠BDF=∠BAC=90°,(2分)
          ∴DF∥AC;(3分)
          證法二:過點(diǎn)B作兩圓的外公切線MN,(1分)
          ∵∠MBA=∠DFB,∠MBA=∠ACB,
          ∴∠DFB=∠ACB;(2分)

          (2)解:當(dāng)∠ABC=30°時(shí),CD與⊙O相切.(4分)
          法一:連接O′D,
          ∵⊙O′的直徑BF=4,⊙O的直徑BC=6,
          ∴O′F=2;(5分)
          在Rt△BFD中,由BF=4,∠ABC=30°,
          ∴DF=2,
          ∴DF=O′F=FC=2,(6分)
          ∴△O′DC為直角三角形,
          ∴∠O′DC=90°;
          又∵點(diǎn)D在⊙O′上,
          ∴CD與⊙O’相切;(7分)
          法二:∵⊙O’的直徑BF為4,⊙O的直徑BC為6,
          ∴FC=2,
          在Rt△BDF中,BF=4,∠ABC=30°,
          ∴DF=2,∠BFD=60°,
          ∴DF=FC,
          ∴∠DCB=∠FDC=30°;(5分)
          連接O′D,∠DO′C=2∠B=60°,(6分)
          ∴∠O′DC=90°,即O′D⊥DC,
          又∵點(diǎn)D在⊙O⊙O′上,
          ∴CD與⊙O⊙O′相切;(7分)
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          (3)解:在Rt△ABC中,∠ABC=30°,BC=6,
          ∴AC=3,AB=3
          3
          ;
          在Rt△DBF中,∠ABC=30°,BF=4,
          ∴DF=2,BD=2
          3
          ,(8分)
          ∴AD=
          3
          ;
          在Rt△ADF中,AF2=AD2+DF2=7;
          ∵DF∥AC,
          ∴EF:AE=DF:AC=
          2
          3
          ,
          ∴EF:AF=
          2
          5
          ,
          ∴EF=
          2
          5
          7
          ,AF=
          7
          .(10分)
          點(diǎn)評:本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角,以及切線的證明,證明經(jīng)過半徑的外端點(diǎn),且垂直于這條半徑.
          練習(xí)冊系列答案
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          21、已知:如圖,⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),過A的直線交⊙O1于C,交⊙O2于D,過B的直線交⊙O1于E,交⊙O2于F,且CD∥EF.
          求證:CE=DF.

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          13
          ,AB=6.
          求:(1)弦AC的長度;
          (2)四邊形ACO1O2的面積.

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          14、已知:如圖,⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P,⊙O1的半徑為3,且O1O2=8,則⊙O2的半徑R=
          5

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          (1997•南京)已知:如圖,⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P,A為⊙O1上一點(diǎn),直線AC切⊙O2于點(diǎn)C,且交⊙O1于點(diǎn)B,AP的延長線交⊙O2于點(diǎn)D.
          (1)求證:∠BPC=∠CPD;
          (2)若⊙O1半徑是⊙O2半徑的2倍,PD=10,AB=7
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          ,求PC的長.

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          已知:如圖,⊙O1與⊙O2相交于A,B兩點(diǎn).求證:直線O1O2垂直平分AB.

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