Question

如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿B⇒A，B⇒C運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒．過(guò)M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM= _________ 厘米；

（2）若a=5厘米，求時(shí)間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；

（3）若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；

（4）是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）PM=;(2)當(dāng)t=2時(shí)，使△PNB∽△PAD，相似比為2：3;（3）3＜a≤6;（4）∵3＜a≤6時(shí)，當(dāng)a=2時(shí)梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．

【解析】

試題分析：（1）要想求出PM的長(zhǎng)度,可以利用△ANB∽△APM得到比例,當(dāng)t=1時(shí)，MB=1，NB=1，AM=3，∴PM=;（2）當(dāng)△PNB∽△PAD時(shí),可以得到比例,∵△ANB∽△APM, ∴，∴,可以求出t;（3）要判斷兩個(gè)梯形的面積是否相等,只需要把各自的面積表示出來(lái),得到方程,方程有解,則存在,由題,△AMP∽△ABN，∴,即，∴PM=，∵PQ=3﹣，當(dāng)梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即，化簡(jiǎn)得t=，∵t≤3，∴3＜a≤6;（4）由(2)知道,當(dāng)3＜a≤6時(shí)，梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，∴梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，將兩個(gè)梯形的面積表示出來(lái),得到方程,方程有解,則a存在,則CN=PM，∴=3﹣t，得t²﹣2at+3a=0，把t=代入，得9a³﹣108a=0，∵a≠0，∴9a²﹣108=0，∴a=±2，∴a=2,當(dāng)a=2時(shí)梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．

試題解析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，MB=1，NB=1，AM=4﹣1=3，

∵PM∥BN,

∴△ANB∽△APM，

∴，

∴PM=;

（2）由題,∵△PNB∽△PAD，

∴，

∵△ANB∽△APM,

∴，

∴,

∴t=2，相似比為2：3;

（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，

∴△AMP∽△ABN，

∴,即，

∴PM=，

∵PQ=3﹣，

當(dāng)梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即==，

化簡(jiǎn)得t=，

∵t≤3，

∴≤3，

則a≤6，

∴3＜a≤6;

（4）由(2)知道,當(dāng)3＜a≤6時(shí)，梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，

∴梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，則CN=PM，

∴=3﹣t，

兩邊同時(shí)乘以a，得at﹣t²=3a﹣at，

整理，得t²﹣2at+3a=0，

把t=代入，整理得9a³﹣108a=0，

∵a≠0，

∴9a²﹣108=0，

∴a=±2，

∴a=2,

∴存在a，當(dāng)a=2時(shí)梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．

考點(diǎn)：1.三角形的相似;2.一元二次方程;3.不等式.