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        1. 如圖,∠BAC=90°,AC=AB,直線l與以AB為直徑的圓相切于點B,點E是圓上異于A、B的任意一點.精英家教網(wǎng)直線AE與l相交于點D.
          (1)如果AD=10,BD=6,求DE的長;
          (2)連接CE,過E作CE的垂線交直線AB于F.當點E在什么位置時,相應的F位于線段AB上、位于BA的延長線上、位于AB的延長線上(寫出結(jié)果,不要求證明).無論點E如何變化,總有BD=BF.請你就上述三種情況任選一種說明理由.
          分析:(1)由于DB是圓的切線,因此根據(jù)切割線定理得出的DB2=DE•DA即可求出DE的長;
          (2)①設M是上半圓的中點,連接BC,AM,由于AB=AC,且∠CAB=90°,BC必過M點,連接AM則AM⊥BC,因此當E在BM弧上時,F(xiàn)在直徑AB上.當E在AM弧上時,F(xiàn)在BA的延長線上.當E在下半圓時,F(xiàn)在AB的延長線上.
          ②本題可通過相似三角形來求解,由于∠CEA和∠FEB同是∠AEF的余角,因此這兩角相等,根據(jù)弦切角定理可知:∠CAE=∠B,由此可得出,△CAE∽△FBE,同理可得出Rt△DBE∽Rt△BAE,那么
          BE
          AE
          =
          DB
          AB
          =
          BF
          AC
          ,已知AC=AB,因此BD=BF.
          解答:精英家教網(wǎng)解:如圖
          (1)∵BD是切線,DA是割線BD=6,AD=10
          ∴DB2=DE•DA
          ∴DE=
          DB2
          DA
          =
          36
          10
          =3.6;

          (2)設M是上半圓的中點,當E在BM弧上時,F(xiàn)在直徑AB上
          當E在AM弧上時,F(xiàn)在BA的延長線上,當E在下半圓時,F(xiàn)在AB的延長線上
          連接BE
          ∵AB是直徑,AC、BD是切線,∠CEF=90°
          ∴∠AEB=90°,∠CAE=∠FBE,∠DBE=∠BAE
          ∵∠CEA=90°-∠AEF
          ∠FEB=90°-∠AEF
          ∴∠CEA=∠FEB
          ∴Rt△DBE∽Rt△BAE,△CAE∽△FBE
          DB
          BA
          =
          BE
          AE
          BF
          AC
          =
          BE
          AE

          ∵AC=AB
          ∴BD=BF.
          點評:本題主要考查了切線的性質(zhì)、切割線定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點.
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          求證:①△DBF∽△ADF;②
          AB
          AC
          =
          DF
          AF

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