Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊0A、08分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x2—7x+12=0的兩根(OA<0B)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒l個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

(3)當(dāng)t=2時(shí)，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)M，使以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(0，3)， B(4，0)（2）t=，Q（）；t=，Q（）（3）存在。M1（）， M2（），M3（）

【解析】

解：（1）由x2－7 x +12=0解得x1=3，x2=4。

∵OA＜OB ，∴OA="3" , OB=4。∴A(0，3)， B(4，0)。

(2)由OA="3" , OB=4，根據(jù)勾股定理，得AB=5。

由題意得，AP=t, AQ=5－2t 。分兩種情況討論：

①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，如圖1，

△APQ∽△AOB。∴，即解得 t=。∴Q（）。

②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，如圖2，

△APQ∽△ABO。∴，即解得 t=。∴Q（）。

（3）存在。M1（）， M2（），M3（）。

（1）解出一元二次方程，結(jié)合OA＜OB即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB兩種情況討論即可。

（3）當(dāng)t=2時(shí)，如圖，

OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（）。

若以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則

①當(dāng)AQ為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M1的橫坐標(biāo)與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為。∴M1（）。

②當(dāng)PQ為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M2的橫坐標(biāo)與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為。∴M2（）。

③當(dāng)AP為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)Q、M3關(guān)于AP的中點(diǎn)對(duì)稱。

由A(0，3)，P（0，1）得AP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）。

由Q（）得M3的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為。∴M3（）。

綜上所述，若以A、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為

（）或（）或（）。