Question

（2011•鞍山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

5

，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，B（-1，0），C、D兩點(diǎn)在拋物線y=

1

2

x²+bx+c上．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）正方形ABCD沿射線CB以每秒

5

個(gè)單位長(zhǎng)度平移，1秒后停止，此時(shí)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B₁點(diǎn)，試判斷B₁點(diǎn)是否在拋物線上，并說(shuō)明理由；
（3）正方形ABCD沿射線BC平移，得到正方形A₂B₂C₂D₂，A₂點(diǎn)在x軸正半軸上，求正方形ABCD的平移距離．

Answer 1

分析：（1）首先作出輔助線證明Rt△BCE≌Rt△ABO，進(jìn)而得出CE=BO，BE=AO，同理可得△ADF≌△ABO，再求出C（1，-1）、D（2，1）即可求出拋物線解析式；
（2）根據(jù)題意，得1秒后點(diǎn)B移動(dòng)的長(zhǎng)度為，則　BB₁=

5

，進(jìn)而求出Rt△ABO≌Rt△BB₁N，從而得出B₁坐標(biāo)，得出答案即可；
（3）首先證明△A₂BB₂∽△BAO，再求出正方形ABCD平移的距離．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F．
∵正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠AOB=90°，
即∠OBC+∠ABO=∠BAO+∠ABO=90°．
∴∠OBC=∠BAO．
在Rt△BCE和Rt△ABO中，
∵∠OBC=∠BAO，BC=AB，∠CEB=∠BOA=90°，
∴Rt△BCE≌Rt△ABO（AAS）．
∴CE=BO，BE=AO．
∵B（-1，0），
∴BO=1．
∵AB=

5

，
∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO=

AB2-BO2

=

5-1

=2．
∴CE=1，BE=2．
∴OE=BE-BO=1．
∴C（1，-1）．
同理可得△ADF≌△ABO．
∴DF=AO=2，AF=BO=1．
∴OF=AO-AF=2-1=1．
∴D（2，1）．
將C（1，-1）、D（2，1）分別代入y=

1

2

x²+bx+c中，
可得

-1= 1 2 ×1+b+c 1= 1 2 ×4+2b+c

解得

b= 1 2 c=-2

∴此拋物線的表達(dá)式為y=

1

2

x²+

1

2

x-2．

（2）點(diǎn)B₁在拋物線上．
理由：根據(jù)題意，得1秒后點(diǎn)B移動(dòng)的長(zhǎng)度為，

5

×1=

5

，
則　BB₁=

5

．
如圖，過(guò)點(diǎn)B₁作B₁N⊥x軸于點(diǎn)N．
在Rt△ABO與Rt△BNB₁中，
∵∠AOB=∠BNB₁=90°，
∠2=∠B₁BN=90°-∠ABO，AB=B₁B，
∴Rt△ABO≌Rt△BB₁N．
∴B₁N=BO=1，NB=AO=2．
∴NO=NB+BO=2+1=3．
∴B₁（-3，1）．
將點(diǎn)B₁（-3，1）代入y=

1

2

x²+

1

2

x-2中，可得點(diǎn)B₁（-3，1）在拋物線上．

（3）如圖，設(shè)正方形ABCD沿射線BC平移后的圖形為正方形A₂B₂C₂D₂．
∵∠OBC=∠BAO，∠BB₂A₂=∠AOB，
∴△A₂BB₂∽△BAO．
∴

BB2

A2B2

=

AO

BO

．
∵AO=2，BO=1，A₂B₂=

5

，
即　

BB2

5

=

2

1

，
∴BB₂=2

5

．
∴正方形ABCD平移的距離為2

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及全等三角形的應(yīng)用和相似三角形的應(yīng)用，熟練利用判定得出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．