Question

（2012•高新區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑BC=8，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線m，D是直線m上一點(diǎn)，且DC=4，A是線段BO上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD交⊙O于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AD交直線m于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)H，連接GH交BC于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)A是BO的中點(diǎn)時(shí)，求AF的長(zhǎng)；
（2）若∠AGH=∠AFD，
①GE與EH相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②求△AGH的面積．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)A是BO的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)△ACD∽△FCA，可將AF的長(zhǎng)求出；
（2）①GE=EH，利用有兩對(duì)角相等的兩三角形相似可證明△AGH∽△AFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到：∠AGH=∠F=∠CAG，進(jìn)而得到AE=GE=HE，所以GE=EH；
②（I）當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，根據(jù)△AGH∽△AFD，可將△AFD的面積求出；（II）當(dāng)GH不是直徑時(shí)，可知△AGH為等腰直角三角形，從而可將△AFD的面積求出．

解答：解：（1）∵BC=8，A是OB的中點(diǎn)，
∴AC=6，
又∵DC為⊙O的切線，
∴∠ACD=∠ACF=90°，
∵AD⊥AF，
∴∠ADC、∠CAF都和∠DAC互余，
∴∠ADC=∠CAF，
∴△ACD∽△FCA，
∴CD：AC=AC：FC
即4：6=6：FC，
∴FC=9，
∴AF=

AC2 +CF2

=

92+62

=3

13

；

（2）①GE=EH，
理由如下：
∵∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG，
∴△AGH∽△AFD，
∴∠AGH=∠F=∠CAG，∠AHG=∠D=∠CAF，
∴AE=GE=HE，
∴GE=EH，
②∵GE=EH，有垂徑定理推論可知：GH是圓O的直徑或GH是垂直于直徑的弦，
如圖1，（I）如果GH是直徑（即A與B重合，E與O重合），那么GH=8；
在直角△AFD中，
∵∠ACD=∠ACF=90°，∠GAF=90°，
∴∠DAC+∠CAF=90°，∠F+∠CAF=90°，
∴∠F=∠DAC，
∴△DAC∽△AFC，
∴

AC

DC

=

CF

AC

，
∵AC=8，DC=4代入得：FC=16，
由勾股定理得：FD=20，
∵△AGH∽△AFD，
∴△AGH與△AFD相似比為2：5，
∴這兩個(gè)相似三角形的面積比為4：25，
而△AFD的面積為=

1

2

×20×8=80，
∴△AGH的面積=

4

25

×80=

64

5

；
如圖2，（II）如果GH不是直徑，由GE=HE，
根據(jù)垂徑定理的推論可得GH⊥BC，
∴AC垂直平分GH，
∴AG=AH，且GH∥FD，
而∠GAH=90°，則∠AGH=45°．
∴∠D=∠AGH=45°，
∴在直角三角形ACD中，∠DAC=45°．
∴AC=CD=4，
而OC=4，
∴A、O點(diǎn)重合，故AG=AH=4，
∴△AGH的面積=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定以及性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、垂徑定理的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)綜合應(yīng)用，題目的綜合性強(qiáng)，難度大，是一道不錯(cuò)的中考?jí)狠S題．