Question

(2005　福建廈門)已知：與相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)B作CD⊥AB，分別交與于點(diǎn)C、D．

(1)如圖所示，求證：AC是的直徑．

(2)若AC=AD，

①如圖所示，連接，求證：四邊形是平行四邊形；

②若點(diǎn)在外，延長交于點(diǎn)M，在劣弧上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合)．EB的延長線交優(yōu)弧于點(diǎn)F，如圖所示．連接AE、AF．則AE________AB(請(qǐng)?jiān)跈M線上填“≥、≤、＜、＞”這四個(gè)不等號(hào)中的一個(gè)＝并加以證明．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)證明　∵CD⊥AB　∴∠ABC=90°，∴AC是的直徑． (2)①證明1　∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°． ∴AD是的直徑．∵AC=AD，CD⊥AB，∴CB=BD．∵分別是AC、AD的中點(diǎn)∴且， ∴四邊形是平行四邊形． 證明2　∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°， ∴AD是的直徑．∵AC=AD，CD⊥AB，∴CB=BD． ∵B、分別是CD、AD的中點(diǎn)，∴且， ∴四邊形是平行四邊形． 證明3　∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°， ∴AD是的直徑．∵分別是AC、AD的中點(diǎn)，∴．∵CD⊥AB，∴CB=BD． ∴B是CD的中點(diǎn)．∴． ∴四邊形是平行四邊形． 證明4　∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°， ∴AD是的直徑．∵AC=AD， ∴∴∠C=∠D．∵，∴． ∴∴． ∴四邊形是平行四邊形． ②AE＞AB． 證明1　當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上(不與點(diǎn)C重合)時(shí)， ∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC， ∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB， ∴AE=AF，記AF交BD為G(圖a)． a) ∵AB⊥CD，∴AF＞AG＞AB． 當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AE=AC＞AB． 當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上(不與點(diǎn)B重合)時(shí)，設(shè)AE交CD于H，AE＞AH＞AB．綜上，AE＞AB． 證明2　當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上(不與點(diǎn)C重合)時(shí)，連接EC、DF(圖b)．∵AD是的直徑，即∠AFD=90°，∠EAC=∠EBC=∠DBF=∠DAF，∵AC=AD． b) 直角△AFD≌直角△AEC，∴AE=AF． 后與證明1同。 證明3　當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上(不與點(diǎn)C重合)時(shí)，連接EC、DF(圖b)，∵AD是的直徑，即∠AFD=90°． ∵∠DBF=∠DAF，∴∠ADF＋∠DBF=90°． 又∵∠DBF=∠EBC，∠ABE＋∠EBC=90°． ∴∠ADF=∠ABE，∵∠ABE=∠ACE． ∴∠ADF=∠ACE，∵AC=AD． ∴直角△AFD≌直角△AEC，∴AE=AF． 后與證明1同。