Question

（2012•虹口區(qū)二模）如圖，已知ED∥BC，GB²=GE•GF
（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）連接GD，若GB=GD，求證：四邊形ABCD為菱形．

Answer 1

分析：（1）根據平行線分線段成比例定理可以得到：

GB

GE

=

GC

GA

，然后根據GB²=GE•GF變形得到：

GB

GE

=

GF

GB

，則

GF

GB

=

GC

GA

，然后利用平行線分線段成比例定理的逆定理即可證得AB∥CD，根據平行四邊形的定義即可證得；
（2）根據平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線互相平分，得到O是BD的中點，再根據GB=GD，利用等腰三角形的性質即可得到BD⊥AC，利用菱形的判定定理即可證得．

解答：證明：（1）∵ED∥BC，
∴

GB

GE

=

GC

GA

．
∵GB²=GE•GF，
∴

GB

GE

=

GF

GB

，
∴

GF

GB

=

GC

GA

，
∴AB∥CF，即AB∥CD．
又∵ED∥BC
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）連接BD交AC于點O．
∵四邊形ABCD為平行四邊形．
∴BO=DO，
∵GB=GD∴OG⊥BD   即AC⊥BD．
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD為菱形．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理及其逆定理，和菱形的判定定理，等腰三角形的三線合一定理，運用平行線分線段成比例定理，找準對應關系是關鍵．