Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以BC為直徑的半圓，圓心為O，且AB=AD，延長CB、DA交于P，過C點作PD的垂線交PD的延長線于E，當(dāng)PB=BO，CD=18時，
求：（1）⊙O的半徑長；（2）DE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA、BD交于F，由BC是⊙O的直徑可以知道∠BDC=90°，而OA是半徑，AB=AD根據(jù)垂徑定理可以知道OA⊥BD，所以O(shè)A∥CD；接著可以得到

OA

CD

=

PD

PC

；而PB=BO=OC，CD=18；現(xiàn)在可以求出OA了，也就求出了圓的半徑．
（2）由OF∥CD，OB=OC根據(jù)中位線定理可以求出OF，AF；在根據(jù)勾股定理在Rt△DBC中可以求出BD，DF；接著在Rt△ADF中求出AD；然后利用平行線的性質(zhì)得∠FAD=∠CDE證明△AFD∽△DEC，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以求出DE了．

解答：解：（1）連接OA，BD交于F，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°；
又∵OA是半徑，AB=AD；
∴OA⊥BD，OA∥CD；
∵

OA

CD

=

PO

PC

；
∴OA=12；
∴⊙O的半徑為12．

（2）∵OF∥CD，

OF

DC

=

BO

BC

=

1

2

；
∴OF=9，AF=3；
∵BD=

BC2-DC2

=6

7

；
∴DF=

1

2

BD=3

7

；
∴AD=

DF2+AF2

=6

2

；
∵∠AFD=∠DEC=90°，OA∥DC，∠FAD=∠CDE；
∴△AFD∽△DEC；
∴

DE

DC

=

AF

AD

；
即

DE

18

=

3

6 2

；
∴DE=

9

2

2

．
∴DE為

9

2

2

．

點評：此題是圓的知識綜合性比較強的一道題，把垂徑定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，中位線定理等知識都放在圓的背景中，充分發(fā)揮這些知識的作用解題．