Question

如圖，拋物線y=-x²+3x-n經(jīng)過點(diǎn)C（0，4），與x軸交于兩點(diǎn)A、B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線上位于x軸上方的一個動點(diǎn)，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)C（0，4）代入拋物線y=-x²+3x-n即可得到n的值，從而求出二次函數(shù)解析式；
（2）由圖可知，當(dāng)P位于二次函數(shù)頂點(diǎn)時△ABP面積的最大，求出函數(shù)與x軸的交點(diǎn)及函數(shù)最值即可求出△ABP面積的最大值．

解答：解：（1）將-n=4，即n=-4，
故函數(shù)解析式為y=-x²+3x+4；

（2）可見，當(dāng)P位于二次函數(shù)頂點(diǎn)時△ABP面積的最大，
∵y=-x²+3x+4=-（x²-3x+

9

4

-

9

4

）+4=-（x²-3x+

9

4

）+

9

4

+4=-（x-

3

2

）²+

25

4

，
∴二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

25

4

）．
當(dāng)y=0時，-x²+3x+4=0，
解得，x₁=-1，x₂=4．
S_{△ABP最大值}=

1

2

×5×

25

4

=

125

8

．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和拋物線與x軸的交點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．