Question

已知一次函數(shù)y=-2x+2與x軸、y軸分別交于A、B點，以AB為邊在第一象限內(nèi)作直角△ABC，△ABC∽△OAB．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）一個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過不同的點C和點P，問：在第一象限內(nèi)，是否存在點P（記點P的橫坐標(biāo)為m）使得△PAB的面積等于△ABC的面積？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=0時，y=2，則點B（0，2）；
當(dāng)y=0時，解得x=1，則點A（1，0）
∵在直角△ABC中，AO=1，BO=2，∴AB==，
∵△ABC∽△OAB，∴===，
解得AC=2，BC=5，
∵△ABC∽△OAB，∴∠ABC=∠BAO，
∴∠OBC=∠OBA+∠ABC=∠OBA+∠BAO=90°，
∴點C（5，2）；
（2）存在
∵由（1）可知AB=，AC=2，
∴△ABC的面積=AB•AC=5
設(shè)這個反比例函數(shù)關(guān)系式為．
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C（5，2），∴k=10，
∴y=．
∵點P是反比例函數(shù)y=圖象上，且在第一象限內(nèi)的點，
∴可設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，），m＞0且m≠5
設(shè)直線CP的解析式為y=kx+b，∵C（5，2），P（m，），
∴解得
∴（m＞0且m≠5）．
當(dāng)x=0時，，當(dāng)y=0時，x=5+m．
設(shè)直線CP與x軸、y軸分別交于D、E點，則OD=5+m，OE=
∵S_△PAB=S_△DOE-S_△PBE-S_△AOB-S_△PAD
=（5+m）-•m•-×1×2-（4+m）•
=m+-1
=5
∴解得m=1或m=5
∵m＞0，且m≠5
∴m=1
∴點P的坐標(biāo)為（1，10）
分析：（1）先求點B、A的坐標(biāo)，由勾股定理得，AB=，由△ABC∽△OAB，可得點C（5，2）；
（2）存在，由（1）可知AB=，AC=2，再求出△ABC的面積，設(shè)這個反比例函數(shù)關(guān)系式為．
求得解析式，再直線CP的解析式為y=kx+b，求出解析式，由S_△PAB=S_△DOE-S_△PBE-S_△AOB-S_△PAD，求出m，從而求出點P的坐標(biāo)為（1，10）．
點評：此題作為壓軸題，綜合考查函數(shù)、方程與勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識．
此題是一個大綜合題，難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的鉆研精神和堅韌不拔的意志品質(zhì)．