Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A沿AD向D運(yùn)動(dòng)，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG．請(qǐng)?zhí)骄浚?BR>（1）線段AE與CG是否相等請(qǐng)說(shuō)明理由：
（2）若設(shè)AE=x，DH=y，當(dāng)x取何值時(shí)，y最大？
（3）連接BH，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的何位置時(shí)，△BEH∽△BAE？

Answer 1

分析：（1）AE=CG，要證結(jié)論，必證△ABE≌△CBG，由正方形的性質(zhì)很快確定∠3=∠4，又AB=BC，BE=BG，符合SAS即證．
（2）先證△ABE∽△DEH，所以

DH

AE

=

DE

AB

，即可求出函數(shù)解析式y(tǒng)=-x²+x，繼而求出最值．
（3）要使△BEH∽△BAE，需

AE

AB

=

EH

BE

，又因?yàn)椤鰽BE∽△DEH，所以

EH

BE

=

DH

AE

=

1

2

，即

AE

AB

=

1

2

，所以當(dāng)E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)時(shí)，△BEH∽△BAE．

解答：解：（1）AE=CG．
理由：正方形ABCD和正方形BEFG中，
∠3+∠5=90°，
∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4．
又AB=BC，BE=BG，
∴△ABE≌△CBG．
∴AE=CG．

（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠D=∠FEB=90°．
∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠3．
又∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEH．
∴

DH

AE

=

DE

AB

．
∴

y

x

=

1-x

1

．
∴y=-x²+x
=-（x-

1

2

）²+

1

4

當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y有最大值為

1

4

．

（3）解：當(dāng)E點(diǎn)是AD的中點(diǎn)時(shí)，△BEH∽△BAE，
理由：∵E是AD中點(diǎn)，
∴AE=

1

2

．
∴DH=

1

4

．
又∵△ABE∽△DEH，
∴

EH

BE

=

DH

AE

=

1

2

．
又∵

AE

AB

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

EH

BE

．
又∠DAB=∠FEB=90°，
∴△BEH∽△BAE．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合正方形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定