Question

已知關(guān)于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)方程的兩實(shí)根為x₁和x₂（x₁≠x₂），那么是否存在實(shí)數(shù)k，使

1

x1

+

1

x2

=2成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么方程的判別式大于0，且k≠0，由此可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到兩根之和與兩根之積，然后把已知等式變形為和兩根之和與兩根之積相關(guān)的形式，再代入即可得到關(guān)于k的方程，也可以判斷是否存在實(shí)數(shù)k，使

1

x1

+

1

x2

=2成立．

解答：解：（1）由△=(k+2)2-4k×

k

4

＞0，
解得k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范圍是k＞-1且k≠0；
（2）不存在符合條件的實(shí)數(shù)k，
理由如下：
∵x1+x2=-

k+2

k

，x1x2=

1

4

，
又

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=2，
∴-

k+2

k

×4=2，
解得k=-

4

3

經(jīng)檢驗(yàn)k=-

4

3

是方程的解．
由（1）知，當(dāng)k=-

4

3

時(shí)，△＜0，故原方程無實(shí)根
∴不存在符合條件的k的值．

點(diǎn)評：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的根的判別式，首先根據(jù)方程的判別式得到方程根的情況，然后將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合，得到所求字母的方程，解方程即可得到結(jié)果，但一定要注意此時(shí)k值一定要滿足判別式＞0．