Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為．

（1）求的值和拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）．軸交直線于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且四邊形為矩形（如圖2），若矩形的周長為，求與的函數(shù)關(guān)系式以及的最大值；

（3）是平面內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得到，點(diǎn)、、的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、、．若的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），拋物線的解析式為；（2），有最大值；（3）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線解析式求出m的值，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線求解即可得到n的值，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）令y=0求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長度，利用勾股定理列式求出AB的長，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根據(jù)矩形的周長公式表示出p，利用直線和拋物線的解析式表示DE的長，整理即可得到P與t的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）根據(jù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角為90°可得A1O1∥y軸時(shí)，B1O1∥x軸，然后分①點(diǎn)O1、B1在拋物線上時(shí)，表示出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)縱坐標(biāo)相同列出方程求解即可；②點(diǎn)A1、B1在拋物線上時(shí)，表示出點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相差A1O1的長度列出方程求解即可．

（1）∵直線：經(jīng)過點(diǎn)，

∴，

∴直線的解析式為，

∵直線：經(jīng)過點(diǎn)，

∴，

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）令，則，解得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴，

在中，，

∴，

∵軸，

∴，

在矩形中，，

，

∴，

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（），

∴，，

∴，

∴，

∵，且，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值；

（3）∵繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

∴軸時(shí)，軸，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

①如圖1，點(diǎn)、在拋物線上時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴，

解得，

②如圖2，點(diǎn)、在拋的線上時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)比點(diǎn)的縱坐標(biāo)大，

∴，

解得，

綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．