Question

如圖，正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．
（1）求證：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）若MN的延長線交正方形外角平分線CP于點P，當點M在BC邊上如圖位置時，請你在AB邊上找到一點H，使得AH=MC，連接HM，進而判斷AM與PM的大小關系，并說明理由；
（3）若BM=1，則梯形ABCN的面積為

19

2

；設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；
（4）當M點運動到什么位置時Rt△ABM∽Rt△AMN，求此時BM的值．

Answer 1

分析：（1）要證三角形ABM和MCN相似，就需找出兩組對應相等的角，已知了這兩個三角形中一組對應角為直角，而∠BAM和∠NMC都是∠AMB的余角，因此這兩個角也相等，據(jù)此可得出兩三角形相似．
（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，易求得∠AHM=∠MCP=135°，∠2+∠3=∠1+∠2=45°，即可得∠1=∠3，然后利用ASA即可證得△AHM≌△MCP，證得AM=PM．
（3）根據(jù)（1）的相似三角形，可得出AB，BM，MC，NC的比例關系式，已知了AB=4，BM=x，可用BC和BM的長表示出CM，然后根據(jù)比例關系式求出CN的表達式．這樣直角梯形的上下底和高都已得出，可根據(jù)梯形的面積公式得出關于y，x的函數(shù)關系式．然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出y的最大值即四邊形ABCN的面積的最大值，以及此時對應的x的值，也就可得出BM的長．
（4）已知了這兩個三角形中相等的對應角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么兩組直角邊就應該對應成比例，即AM：MN=AB：BM，根據(jù)（1）的相似三角形可得出AM：MN=AB：MC，因此BM=MC，M是BC的中點．即BM=2．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠AMB+∠BAM=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）AM=PM．
證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
∵AH=MC，
∴BH=BM，
∴∠BMH=∠BHM=45°，
∴∠AHM=135°，
∵AM⊥MN，
∴∠2+∠3+∠BMH=90°，
∴∠2+∠3=45°，
∵∠1+∠2=∠BHM=45°，
∴∠1=∠3，
∵CP是正方形外角平分線，
∴∠PCN=45°，
∴∠PCM=90°+45°=135°，
∴∠AHM=∠MCP，
在△AHM和△MCP中，
∵

∠1=∠3 AH=MC ∠AHM=∠MCP

，
∴△AHM≌△MCP（ASA），
∴AM=PM；

（3）解：∵正方形ABCD邊長為4，BM=1，
∴CM=4-1=3，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴

AB

MC

=

BM

CN

，
即

4

3

=

1

CN

，
∴CN=

3

4

，
∴S_梯形ABCN=

1

2

（AB+CN）•BC=

1

2

×（4+

3

4

）×4=

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2

；
∵正方形ABCD邊長為4，BM=x，
∴CM=4-x，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴

AB

MC

=

BM

CN

，
即

4

4-x

=

x

CN

，
∴CN=

-x2+4x

4

，
∴y=S_梯形ABCN=

1

2

（AB+CN）•BC=

1

2

×（4+

-x2+4x

4

）×4=-

1

2

x2+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，
∴當x=2時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為10；

（4）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必須有

AB

AM

=

BM

MN

，即

AB

BM

=

AM

MN

，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴

AM

MN

=

AB

MC

，
∴BM=MC，
∴當點M運動到BC的中點時，Rt△ABM∽Rt△AMN，此時BM=2．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想與方程思想的應用是解此題的關鍵．