Question

（2012•蘭州）如圖，定義：若雙曲線y=

k

x

（k＞0）與它的其中一條對(duì)稱軸y=x相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對(duì)徑．
（1）求雙曲線y=

1

x

的對(duì)徑．
（2）若雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對(duì)徑是10

2

，求k的值．
（3）仿照上述定義，定義雙曲線y=

k

x

（k＜0）的對(duì)徑．

Answer 1

分析：過A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，
（1）先解方程組

y= 1 x y=x

，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），即OC=AC=1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA=

2

OC=

2

，則AB=2OA=2

2

，于是得到雙曲線y=

1

x

的對(duì)徑；
（2）根據(jù)雙曲線的對(duì)徑的定義得到當(dāng)雙曲線的對(duì)徑為10

2

，即AB=10

2

，OA=5

2

，根據(jù)OA=

2

OC=

2

AC，則OC=AC=5，得到點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，5），把A（5，5）代入雙曲線y=

k

x

（k＞0）即可得到k的值；
（3）雙曲線y=

k

x

（k＜0）的一條對(duì)稱軸與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題目中的定義易得到雙曲線y=

k

x

（k＜0）的對(duì)徑．

解答：解：過A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，如圖，
（1）解方程組

y= 1 x y=x

，得

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=

2

OC=

2

，
∴AB=2OA=2

2

，
∴雙曲線y=

1

x

的對(duì)徑是2

2

；

（2）∵雙曲線的對(duì)徑為10

2

，即AB=10

2

，OA=5

2

，
∴OA=

2

OC=

2

AC，
∴OC=AC=5，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，5），
把A（5，5）代入雙曲線y=

k

x

（k＞0）得k=5×5=25，
即k的值為25；

（3）若雙曲線y=

k

x

（k＜0）與它的其中一條對(duì)稱軸y=-x相交于A、B兩點(diǎn)，
則線段AB的長(zhǎng)稱為雙曲線y=

k

x

（k＜0）的對(duì)徑．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式；等腰直角三角形的斜邊是直角邊的

2

倍；強(qiáng)化理解能力．