Question

如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB所在直線為x軸，過(guò)c點(diǎn)的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．此時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）
（1）試求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（3）點(diǎn)D（1，m）在拋物線上，過(guò)點(diǎn)A的直線y=-x-1交（2）中的拋物線于點(diǎn)E，那么在x軸上點(diǎn)B的左側(cè)是否存在點(diǎn)P，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，根據(jù)射影定理即可求出OC的長(zhǎng)，由此得到C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，從而確定其解析式；
（3）根據(jù)拋物線的解析式，易求得D（1，3）；聯(lián)立直線AE的解析式即可求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)可發(fā)現(xiàn)∠OBD和∠EAB同為45°，對(duì)應(yīng)相等，若以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，可考慮兩種情況：
①△PBD∽△BAE，②△PBD∽△EAB；根據(jù)上述兩種情況所得到的不同比例線段即可求出BP的長(zhǎng)，從而確定P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OC⊥AB，
由射影定理，得：OC²=OA•OB=4，即OC=2，
∴C（0，2）；

（2）∵拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4）（a≠0），則有：
2=a（0+1）（0-4），a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（3）存在符合條件的P點(diǎn)，且P（

13

7

，0）或（-

22

5

，0）．
根據(jù)拋物線的解析式易知：D（1，3），
聯(lián)立直線AE和拋物線的解析式有：

y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2 y=-x-1

，
解得

x=-1 y=0

，

x=6 y=-7

，
∴E（6，-7），
∴tan∠DBO=

3-0

4-1

=1，即∠DBO=45°，tan∠EAB=

0-(-7)

6-(-1)

=1，即∠EAB=45°，
∴∠DBA=∠EAB，
若以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則有兩種情況：
①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．
易知BD=3

2

，EA=7

2

，AB=5，
由①得：

PB

AB

=

BD

AE

，即

PB

5

=

3 2

7 2

，即PB=

15

7

，OP=OB-PB=

13

7

，
由②得：

BP′

AE

=

BD

AB

，即

P′B

7 2

=

3 2

5

，即P′B=

42

5

，OP′=OB-BP′=-

22

5

，
∴P（

13

7

，0）或（-

22

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，要注意當(dāng)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不確定的情況下需要分類(lèi)討論，以免漏解．