Question

（2012•大連二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-3），AB⊥x軸，垂足為B，將線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD（其中點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D）．設(shè)直線AC與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E、F．
（1）求經(jīng)過B、E、F的拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M在（1）中的拋物線上，且點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離與到點(diǎn)D的距離之差最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)G在直線AC上，且點(diǎn)G到點(diǎn)B的距離與到點(diǎn)D的距離之和最小，求此最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得出B（1，0），C（-3，-1），D（0，-1），首先求出直線AC的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，再利用交點(diǎn)式求出解析式即可；
（2）首先求出直線BD的解析式為y=k₁x+b₁，再設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m-1），代入二次函數(shù)解析式求出即可；
（3）首先得出△DGF∽△EOF，求出DP的長(zhǎng)，再利用△DPQ∽△EFO，HO=PQ=

6

5

，PH=OQ=

17

5

，再利用勾股定理求出最小值BP即可．

解答：解：（1）由題意得B（1，0），C（-3，-1），D（0，-1）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則  

k+b=-3 -3k+b=-1.

解得

k=- 1 2 b=- 5 2 .

∴y=-

1

2

x-

5

2

．
∴點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（-5，0），（0，-

5

2

）．
設(shè)所求拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+5），
∴-

5

2

=a•(-1)×5，即a=

1

2

．
∴y=

1

2

x2+2x-

5

2

．

（2）如圖1，連接BD并延長(zhǎng)，與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M．
設(shè)直線BD的解析式為y=k₁x+b₁，
則 

k1+b1=0 b1=-1.

解得 

k1=1 b1=-1.

∴y=x-1．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m-1），
∴m-1=

1

2

m2+2m-

5

2

，
解得m₁=-3，m₂=1 （舍去）．
即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，-4）．

（3）如圖2，作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)P，DP與AC相交于點(diǎn)G，連接BP．則BP長(zhǎng)即為所求的最小值．
由（1）知，OE=5，OF=

5

2

，OD=1，
故DF=

3

2

，EF=

52+( 5 2 )2

=

5

2

5

．
∵∠DGF=∠EOF=90°，∠DFG=∠EFO，
∴△DGF∽△EOF．
∴

DG

EO

=

DF

EF

=

GF

OF

，
∴DG=

EO•DF

EF

=

3

5

5

，GF=

OF•DF

EF

=

3

10

5

．
∴DP=2DG=

6

5

5

．
作PQ⊥y軸，PH⊥x軸，垂足分別為Q、H．
同理可證△DPQ∽△EFO，
∴

DP

EF

=

DQ

EO

=

PQ

FO

，
∴PQ=

DP•FO

EF

=

6

5

，DQ=

DP•EO

EF

=

12

5

．
∴HO=PQ=

6

5

，PH=OQ=

17

5

．
∴BP=

(1+ 6 5 )2+( 17 5 )2

=

410

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱得出BP長(zhǎng)即為所求的最小值是解題關(guān)鍵．