Question

【題目】如圖，ABCD中，M、N是BD的三等分點(diǎn)，連接CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，連接EN并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，以下結(jié)論：

①E為AB的中點(diǎn)；

②FC=4DF；

③S△ECF=；

④當(dāng)CE⊥BD時(shí)，△DFN是等腰三角形．

其中一定正確的是 ．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

試題分析：由M、N是BD的三等分點(diǎn)，得到DN=NM=BM，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，AB∥CD，推出△BEM∽△CDM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到BE=AB，故①正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=，求得DF=BE，于是得到DF=AB=CD，求得CF=3DF，故②錯(cuò)誤；根據(jù)已知條件得到S△BEM=S△EMN=S△CBE，求得=，于是得到S△ECF=，故③正確；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB=EN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ENB=∠EBN，等量代換得到∠CDN=∠DNF，求得△DFN是等腰三角形，故④正確．

解：∵M、N是BD的三等分點(diǎn)，

∴DN=NM=BM，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴△BEM∽△CDM，

∴，

∴BE=CD，

∴BE=AB，故①正確；

∵AB∥CD，

∴△DFN∽△BEN，

∴=，

∴DF=BE，

∴DF=AB=CD，

∴CF=3DF，故②錯(cuò)誤；

∵BM=MN，CM=2EM，

∴△BEM=S△EMN=S△CBE，

∵BE=CD，CF=CD，

∴=，

∴S△EFC=S△CBE=S△MNE，

∴S△ECF=，故③正確；

∵BM=NM，EM⊥BD，

∴EB=EN，

∴∠ENB=∠EBN，

∵CD∥AB，

∴∠ABN=∠CDB，

∵∠DNF=∠BNE，

∴∠CDN=∠DNF，

∴△DFN是等腰三角形，故④正確；

故答案為：①③④．