Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．
（1）求證：直線BD與⊙O相切；
（2）若AD：AE=

2

：

3

，BC=6，求切線BD的長．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OD，欲證明直線BD與⊙O相切，只需證明OD⊥BD即可；
（2）連接DE．利用圓周角定理和三角形中位線定理易求DE的長度，而AD：AE=

2

：

3

，在直角△ADE中，利用勾股定理即可求得AE的長度；最后利用切割線定理來求切線BD的長度．

解答：（1）證明：∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO（等邊對等角）．
又∵∠A+∠CDB=90°（已知），
∴∠ADO+∠CDB=90°（等量代換），
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°，即BD⊥OD．
又∵OD是圓O的半徑．
∴BD是⊙O切線；

（2）解：連接DE，則∠ADE=90°（圓周角定理）．
∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
又∵D是AC中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=

1

2

BC=3，AE=BE．
∵AD：AE=

2

：

3

，
在直角△ADE中，利用勾股定理求得AE=3

3

，則AB=6

3

．
∴BD²=AB•BE=6

3

×3

3

=54，
∴BD=3

6

．

點評：本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)．其中要證某直線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．