Question

【題目】綜合與探究：在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè))，與軸交于點(diǎn)，它的對稱軸與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，連接．

（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）探索直線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）若點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)：

①使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

②使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）①拋物線上存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；②拋物線上存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）先由拋物線的解析式以及圖像特征求得點(diǎn)、的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）先由點(diǎn)、 、 三點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)坐標(biāo)系中距離公式推出為等邊三角形，再分兩種情況畫圖進(jìn)行分類討論，利用解直角三角形確定符合要求的點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）①通過添加輔助線構(gòu)造出四邊形，然后根據(jù)菱形的判定方法進(jìn)行證明即可；

②通過添加輔助線構(gòu)造出四邊形，然后根據(jù)矩形的判定方法進(jìn)行證明即可．

解：（1）當(dāng)時，

解得，

∵

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴拋物線的對稱軸為直線

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)時，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)直線的表達(dá)式為，則

解得

∴直線的表達(dá)式為．

（2）結(jié)論：直線上存在點(diǎn)，使為直角三角形．

證明：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

又∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴

∴

∴為等邊三角形

∴

分兩種情況：

①當(dāng)時，

∵

∴

作軸于點(diǎn)，如圖：

∵在中，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

②作軸于點(diǎn)，如圖：

當(dāng)時

∵

∴，

∴

∴

在中，

∴，

∵

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴綜上所述：直線上存在點(diǎn)，使為直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

（3）①過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，如圖：

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴當(dāng)時，

∴，（不合題意舍去）

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

∵由（2）可知

∴

∴四邊形是菱形

∴當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處時，拋物線上存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接、，如圖：

∵

∴

∵由（2）可知

∴

∵由（2）可知

∴

∴

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴，

∴

∴四邊形是矩形

∴拋物線上存在點(diǎn)即點(diǎn)處，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．