Question

如圖，PC切⊙O于點(diǎn)C，過(guò)圓心的割線PAB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，BE⊥PE，垂足為E，BE交⊙O于點(diǎn)D，F(xiàn)是PC上一點(diǎn)，且PF=AF，F(xiàn)A的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)G．求證：
（1）∠FGD=2∠PBC；
（2）

PC

AG

=

PO

AB

．

Answer 1

分析：（1）連接OC．易得OC⊥PC，則OC∥BE，可得∠POC=∠PBE．又∠PBE=∠FGD，∠POC=∠FGD．∠POC=2∠PBC，即得∠FGD=2∠PBC；
（2）連接BG，證明△PCO∽△AGB即可．

解答：證明：（1）連接OC．（1分）
∵PC切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PC．
∵BE⊥PE，
∴OC∥BE．（2分）
∴∠POC=∠PBE．
又∵∠PBE=∠FGD，
∴∠POC=∠FGD．（3分）
∵∠POC=2∠PBC，
∴∠FGD=2∠PBC．（4分）

（2）連接BG．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AGB=90°．
又∵OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，∴∠AGB=∠PCO．（5分）
∵FP=FA，
∴∠FPA=∠PAF=∠BAG．（6分）
∴△PCO∽△AGB．（7分）
∴

PC

AG

=

PO

AB

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)以及圓周角的性質(zhì)．