Question

（2012•峨眉山市二模）題甲：關(guān)于的一元二次方程x²+2x+k+1=0的兩實(shí)數(shù)根分別是x₁和x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果x₁+x₂-x₁x₂＜-1且k為整數(shù)，求k的值．
題乙：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，與BC交于點(diǎn)D，過(guò)D作AC的垂線，垂足為E．
求證：（1）BD=DC；   （2）DE與⊙O相切．
我選做的是

題甲

題．

Answer 1

分析：題甲（1）求出△=2²-4×1×（k+1）=-4k≥0，求出即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-2，x₁•x₂=k+1，推出-2-（k+1）＜-1，求出k的范圍，即可求出k；
題乙（1）連接AD，得出AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出BD=DC即可；
（2）連接OD，求出∠BOD=∠BAC，推出OD∥AC，即可得出∠ODE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．

解答：題甲解：（1）△=2²-4×1×（k+1）=-4k，
∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=-4k≥0，
∴k≤0；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-2，x₁•x₂=k+1，
∵x₁+x₂-x₁x₂＜-1
∴-2-（k+1）＜-1，
∴k＞-2，
又∵k≤0，且k為整數(shù)，
∴k為-1或0．

題乙：證明：（1）連接AD，
∵AB是直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）連接OD，
∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．