Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是BC邊上的一個動點，PE⊥AP，PE交DC于點E，AE交BC的延長線于點F．
（1）求證：①△PCE∽△ABP；②CE•AB=PC•BP；
（2）當(dāng)FC=3時，求EC、BP的長及△PCE和△ABP的面積比．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)和垂直的性質(zhì)即可證明△PCE∽△ABP；②利用①中相似三角形的性質(zhì)即可證明CE•AB=PC•BP；
（2）設(shè)BP=x，由CE•AB=PC•BP可得1.5×4=x（5-x），解方程即可求出BP的長，再分兩種情況分別討論即可．

解答：解：（1）①在矩形ABCD中，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠APN=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPE=∠BAP，
∵∠ECP=∠B=90°，
∴△PCE∽△ABP；
②∵△PCE∽△ABP；
∴CE：BP=PC：AB，
∴CE•AB=PC•BP；

（2）∵EC∥AB，
∴△ECF∽△ABF，
∴FC：FB=EC：AB，
∴3：8=CE：4，
∴CE=1.5，
設(shè)BP=x，由CE•AB=PC•BP可得1.5×4=x（5-x），
解得：x=2或3，即BP=2或BP=3，
（Ⅰ）當(dāng)BP=2時，PC=BC-BP=5-2=3，
∵△PCE∽△ABP，
∴△PCE和△ABP的面積比=9：16；
（Ⅱ）當(dāng)BP=3時，PC=BC-BP=2，
∴△PCE和△ABP的面積比=1：4．

點評：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計算對應(yīng)角的度數(shù)、對應(yīng)邊的比．本題中把若干線段的長度用同一線段來表示是求線段是否成比例時常用的方法．