Question

如圖，已知與x軸交于點A（1，0）和B（5，0）的拋物線的頂點為C（3，4），拋物線l₂與l₁關于x軸對稱，頂點為C′．
（1）求拋物線l₂的函數(shù)關系式；
（2）已知原點O，定點D（0，4），l₂上的點P與l₁上的點P′始終關于x軸對稱，則當點P運動到何處時，以點D，O，P，P′為頂點的四邊形是平行四邊形？
（3）在l₂上是否存在點M，使△ABM是以AB為斜邊且一個角為30°的直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得出C'的坐標為（3，-4），利用頂點式求出l₂的函數(shù)關系式即可；
（2）由P與P'始終關于x軸對稱，得出PP'與y軸平行，即可得出P的橫坐標為m，則其縱坐標為m²-6m+5，
進而求出m的值，即可得出P點的坐標，得出以點D，O，P，P'為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）假設存在滿足條件的點M在l₂上，即可得出點M的坐標為(4，-

3

)，再利用當x=4時y的值進行比較得出答案即可．

解答：解：（1）由題意知點C'的坐標為（3，-4）．
設l₂的函數(shù)關系式為y=a（x-3）²-4．
又∵點A（1，0）在拋物線y=a（x-3）²-4上，
∴（1-3）²a-4=0，解得a=1．
∴拋物線l₂的函數(shù)關系式為y=（x-3）²-4
（或y=x²-6x+5）．

（2）∵P與P'始終關于x軸對稱，
∴PP'與y軸平行．
設點P的橫坐標為m，則其縱坐標為m²-6m+5，
∵OD=4，∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
當m²-6m+5=2時，解得m=3±

6

．
當m²-6m+5=-2時，解得m=3±

2

．
∴當點P運動到(3-

6

，2)或(3+

6

，2)或(3-

2

，-2)或(3+

2

，-2)時，
P′P

∥ .

.

OD，以點D，O，P，P'為頂點的四邊形是平行四邊形．

（3）滿足條件的點M不存在．
理由如下：若存在滿足條件的點M在l₂上，
則∠AMB=90°，∵∠BAM=30°（或∠ABM=30°），
∴BM=

1

2

AB=

1

2

×4=2．
過點M作ME⊥AB于點E，可得∠BME=∠BAM=30°．
∴EB=

1

2

BM=

1

2

×2=1，EM=

3

，OE=4．
∴點M的坐標為(4，-

3

)．
但是，當x=4時，y=42-6×4+5=16-24+5=-3≠-

3

．
∴不存在這樣的點M構成滿足條件的直角三角形．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)圖象關于x軸對稱的性質(zhì)以及頂點式求二次函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識，二次函數(shù)這部分經(jīng)常利用數(shù)形結合以及分類討論思想相結合，綜合性較強注意不要漏解．