Question

【題目】定義：對于平面直角坐標系中的線段和點，在中，當邊上的高為2時，稱為的“等高點”，稱此時為的“等高距離”．

（1）若點的坐標為(1，2)，點的坐標為(4，2)，則在點 (1，0)，(，4)， (0，3)中，的“等高點”是點___；

（2）若(0，0)，＝2，當的“等高點”在軸正半軸上且“等高距離”最小時，點的坐標是__．

Answer 1

【答案】A或B 或

【解析】

（1）根據(jù)“等高點”的概念解答即可；

（2）先證明“等高距離”最小時△MPQ為等腰三角形，再利用勾股定理求出點Q坐標即可．

（1）①∵P（1，2），Q（4，2），

∴在點A（1，0），B（，4）到PQ的距離為2．

∴PQ的“等高點”是A或B，

故答案為：A或B；

（2）如圖2，過PQ的“等高點”M作MN⊥PQ于點N，

∴PQ=2，MN=2．

設PN=x，則NQ=2-x，

在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：

MP2=22+x2=4+x2，MQ2=22+（2-x）2=x2-4x+8，

∴MP2+MQ2=2x2-4x+12=2（x-1）2+10，

∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，

∴當MP2+MQ2最小時MP+MQ也最小，此時x=1，

即PN=NQ，

∴△MPQ為等腰三角形，

∴MP=MQ=，

如圖3，設Q坐標為（x，y），過點Q作QE⊥y軸于點E，

則在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：

QE2=QP2-OE2=22-y2=4-y2，QE2=QM2-ME2=，

∴，

解得y=，

QE2=4-y2=4-（）2=，

當點Q在第一象限時x，當點Q在第二象限時x，

∴或，

故答案為：或．