Question

已知拋物線y=x²+kx+k-2．
（1）求證：不論k為任何實數(shù)，拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）若反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象與y=-

6

x

的圖象關(guān)于y軸對稱，又與拋物線交于點A（n，-3），求拋物線的解析式；
（3）若點P是（2）中拋物線上的一點，且點P到兩坐標軸的距離相等，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用根的判別式進行證明；
（2）先根據(jù)關(guān)于y軸的對稱性求出反比例函數(shù)解析式，然后把點A的坐標代入求出n的值，從而得到點A的坐標，再把點A的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）根據(jù)到兩坐標軸的距離相等，分①點P的橫坐標與縱坐標相同，②點P的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)兩種情況與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標．

解答：（1）證明：△=k²-4×1×（k-2）
=k²-4k+4+4
=（k-2）²+4，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+4＞0，
即△＞0，
∴拋物線與x軸總有兩個交點；

（2）解：∵反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象與y=-

6

x

的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴m=6，
∴

6

n

=-3，
解得n=-2，
∴點A的坐標為（-2，-3），
∴（-2）²+（-2）k+k-2=-3，
解得k=5，
∴拋物線解析式為：y=x²+5x+3；

（3）解：∵拋物線上的點P到兩坐標軸的距離相等，
∴①點P的橫坐標與縱坐標相同時，y=x，
與拋物線解析式聯(lián)立得，

y=x y=x2+5x+3

，
解得

x1=-1 y1=-1

，

x2=-3 y2=-3

，
②點P的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)時，y=-x，
與拋物線解析式聯(lián)立得，

y=-x y=x2+5x+3

，
解得

x3=-3+ 6 y3=3- 6

，

x4=-3- 6 y4=3+ 6

，
∴點P的坐標為（-1，-1）或（-3，-3）或（-3+

6

，3-

6

）或（-3-

6

，3+

6

）．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，拋物線與x軸的交點問題，待定系數(shù)法求拋物線解析式，坐標與圖形的性質(zhì)，兩函數(shù)圖象交點的求解方法，綜合性較強，但難度不是很大，仔細分析不難求解．