Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=30°．
（1）把△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得△AB′C′，B′C′交AB于點D．
①若BC=3，旋轉(zhuǎn)角為30°，求C′D的長；
②若點B經(jīng)過的路徑與AB，AB′所圍圖形的面積與△ABC面積的比值是

3

3

π，求∠BDB′的度數(shù)；
（2）點P在邊AC上，CP：PA=

3

：2．把△ABC繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)n（0°＜n＜180°）后，如果點A恰好落在初始Rt△ABC的邊上，求n的值．

Answer 1

分析：（1）①首先求出AC的長，進而得出AC′=AC，∠C′=90°，得出C′D=AC′•tan30°=1；
②利用AB′所圍圖形的面積與△ABC面積的比值是

3

3

π，得出n的度數(shù)即可；
（2）分別根據(jù)等邊三角形的判定得出，∠APA₁=60°，再利用CP：PA=

3

：2，得出∠CPA₂=30°，即可得出答案．

解答：解：（1）①∵∠C=Rt∠，∠B=30°，BC=3，
∴AC=BC•tan30°=3×

3

3

=

3

，
又∵∠CAC′=30°，
∴∠C′AD=30°
而AC′=AC，∠C′=90°，
∴C′D=AC′•tan30°=1；

②如圖1，設(shè)AC=k，則BC=

3

k，AB=2k，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為n，
則

nπ×22 360

1 2 ×1× 3

=

3

3

π，
∴n=45°，
∴∠BDB′=45°+30°=75°；

（2）如圖2，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°
∵PA=PA₁，
∴∠APA₁=60°，
∵CP：PA=

3

：2，PA=PA₂
∴CP：PA2=

3

：2，
∴∠CPA₂=30°，
∴∠APA₂=150°，
∴n=60°或150°．

點評：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)以及扇形面積公式和銳角三角函數(shù)的關(guān)系等知識，注意數(shù)形結(jié)合分析得出是解題關(guān)鍵．