Question

如圖，已知動圓A始終經過定點B（0，2），圓心A在拋物線y=

1

4

x2上運動，MN為⊙A在x軸上截得的弦（點M在N左側）
（1）當A（2

2

，a）時，求a的值，并計算此時⊙A的半徑與弦MN的長．
（2）當⊙A的圓心A運動時，判斷弦MN的長度是否發(fā)生變化？若改變，舉例說明；若不變，說明理由．
（3）連接BM，BN，當△OBM與△OBN相似時，計算點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點A的坐標代入拋物線解析式求出a的值為2，從而得到AB∥x軸，根據點A的橫坐標即可得到⊙A的半徑，過點A作AE⊥MN于點E，利用勾股定理求出ME的長度，再根據勾股定理即可得到MN的長度；
（2）設點A坐標為（m，n），利用點A、B的坐標結合勾股定理表示出AB²，再根據勾股定理表示出ME²，并把AB²的表達式代入進行計算，然后根據點A在拋物線上得到m、n的關系式，整理即可得到ME=2是常數，然后得到MN不變；
（3）設出點M的坐標，并表示出點N的坐標，然后分①點M、N在y軸同一側，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可得到點M的坐標；②點M、N在y軸兩側，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可得到點M的坐標．

解答：解：（1）把點A（2

2

，a）代入y=

1

4

x²，
得：a=

1

4

×（2

2

）²=2，
∵B（0，2），
∴AB∥x軸，
∴⊙A的半徑為2

2

，
如圖，過點A作AE⊥MN于點E，連接AM，
則AM=AB=2

2

，
ME=

AB2-AE2

=

(2 2 )2-22

=2，
由垂徑定理，MN=2ME=2×2=4．
故此時⊙A的半徑為2

2

，弦MN的長為4；

（2）MN不變．如圖1，理由如下：
設點A（m，n），則AB²=m²+（n-2）²，
在Rt△AME中，ME²=AM²-AE²=m²+（n-2）²-n²=m²-4n+4，
∵點A在拋物線y=

1

4

x²上，
∴

1

4

m²=n，
整理得，ME²=4，
ME=2，
由垂徑定理得，MN=2ME=2×2=4（是定值，不變）；


（3）連接BM，BN，設M（x，0），則N（x+4，0）．
當△OBM與△OBN相似，有以下情況：
①M、N在y軸同側，
∵△OBM與△OBN相似，
∴

OB

OM

=

ON

OB

，
即OB²=OM•ON，
所以，x（x+4）=4，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2+2

2

，x₂=-2-2

2

，
當M、N在y軸右側時，如圖2，M（-2+2

2

，0），
當M、N在y軸左側時，如圖3，M（-2-2

2

，0），
②M、N在y軸兩側時，如圖4，
∵△OBM與△OBN相似，
∴

OB

OM

=

ON

OB

，
即OB²=OM•ON，
-x（x+4）=4，
整理得，x²+4x+4=0，
解得x=-2，
此時△OBM與△OBN全等，M（-2，0），
綜上所述，M有三種情況：M（-2+2

2

，0），M（（-2-2

2

，0），M（-2，0）．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了二次函數圖象上點的特征，勾股定理，垂徑定理，以及相似三角形對應邊成比例，（3）題要注意分點M、N在y軸的同一側與兩側兩種情況討論求解．