Question

如圖1，已知直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

(k＞0)交于A、B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為4．
（1）求k的值；
（2）如圖2，過原點O的另一條直線l交雙曲線y=

k

x

(k＞0)于C、D兩點（點C在第一象限且在點A的左邊），當(dāng)四邊形ACBD的面積為24時，求點C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正比例函數(shù)先求出點A的坐標(biāo)，從而求出了k值為8；
（2）根據(jù)k的幾何意義可知S_△COE=S_△AOF，所以S_梯形CEFA=S_△COA=6．

解答：解：（1）在y=

1

2

x中，當(dāng)x=4時，y=2，
∴點A的坐標(biāo)是（4，2）．（2分）
∵點A（4，2）在雙曲線y=

k

x

(k＞0)上，
∴k=4×2=8．

（2）∵反比例函數(shù)的圖象是關(guān)于原點O的中心對稱圖形，
∴OA=OB，OC=OD．
∴四邊形ACBD是平行四邊形．
∴S△COA=

1

4

S平行四邊形ACBD=

1

4

×24=6．
設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜4），則C（m，

8

m

）．
過點C、A分別作x軸的垂線，垂足分別為E、F．
則S△COE=S△AOF=

1

2

×8=4．
∵S_△COE+S_梯形CEFA=S_△COA+S_△AOF，
∴S_梯形CEFA=S_△COA=6．
∴

1

2

(2+

8

m

)•(4-m)=6，解得m₁=2，m₂=-8（不合，舍去），
∴點C的坐標(biāo)為（2，4）．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù) y=

k

x

中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．