Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，E在BC邊上運(yùn)動(dòng)，DE的中點(diǎn)G，EG繞E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得EF，問(wèn)CE=

5

3

時(shí)，A、C、F在一條直線上．

Answer 1

分析：過(guò)F作FN⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，連接AC，構(gòu)造直角△EFN，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽R(shí)t△ECD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得NE=

1

2

CD=

5

2

，運(yùn)用正方形性質(zhì)，可得出△CNF是等腰直角三角形，從而求出CE．

解答：解：過(guò)F作FN⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，連接AC，
∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，
∴∠DEC=∠EFN，
∴Rt△FNE∽R(shí)t△ECD，
∵DE的中點(diǎn)G，EG繞E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得EF，
∴DE：EF=2：1，
∴CE：FN=DE：EF=DC：NE=2：1，
∴CE=2NF，NE=

1

2

CD=

5

2

．
∵∠ACB=45°，
∴當(dāng)∠NCF=45°時(shí)，A、C、F在一條直線上．
則△CNF是等腰直角三角形，
∴CN=NF，
∴CE=2CN，
∴CE=

2

3

NE=

2

3

×

5

2

=

5

3

．
∴CE=

5

3

時(shí)，A、C、F在一條直線上．
故答案為：

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造Rt△FNE∽R(shí)t△ECD，求得△FCN是等腰直角三角形，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．