Question

觀察：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…
（1）猜想：請(qǐng)你猜想出表示（1）中的特點(diǎn)的一般規(guī)律，用含x（x表示整數(shù)）的等式表示出來(lái)

 

．
（2）驗(yàn)證：
（3）運(yùn)用：請(qǐng)利用上述規(guī)律，解方程

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

解：原方程可變形如下：
（4）拓展：計(jì)算

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2009×2011

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意觀察，即可得到規(guī)律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

（x表示整數(shù)）；
（2）利用分式的加減運(yùn)算，即可驗(yàn)證猜想的準(zhǔn)確性；
（3）利用規(guī)律，將原方程化為：

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

，解此分式方程即可求得答案；
（4）利用規(guī)律化簡(jiǎn)原式即求得答案．

解答：解：觀察：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，
（1）猜想：請(qǐng)你猜想出表示（1）中的特點(diǎn)的一般規(guī)律，用含x（x表示整數(shù)）的等式表示出來(lái)

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

（x表示整數(shù)）；

（2）驗(yàn)證：右邊=

1

x

-

1

x+1

=

x+1

x(x+1)

-

x

x(x+1)

=

x+1-x

x(x+1)

=

1

x(x+1)

=左，
∴猜想正確；

（3）解：原方程可變形如下：

1

x-4

-

1

x-3

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，
∴

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

，
解得x=9
經(jīng)檢驗(yàn)：方程的根是x=9；
∴原方程的根為：x=9；

（4）原式=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2009

-

1

2011

)=

1

2

(1-

1

2011

)=

1005

2011

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式方程與分式的運(yùn)算等知識(shí)．注意找到規(guī)律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

是解此題的關(guān)鍵．