Question

十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

（1）根據(jù)上面多面體模型，你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是

頂點(diǎn)數(shù)（V）+面數(shù)（F）-棱數(shù)（E）=2

．
（2）某個玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面是由五邊形和六邊形兩種多邊形拼接而成，且有60個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)處都有3條棱，分別求該簡單多面體的外表面五邊形和六邊形的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)四面體、長方體、正八面體，正十二面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)，總結(jié)出頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間存在的關(guān)系式即可．
（2）根據(jù)頂點(diǎn)數(shù)和每個頂點(diǎn)處都有3條棱，即可求出五邊形和六邊形的個數(shù)．

解答：解：（1）四面體的頂點(diǎn)數(shù)為4、面數(shù)為4，棱數(shù)為6，則4+4-6=2；
長方體的頂點(diǎn)數(shù)為8、面數(shù)為6，棱數(shù)為12，則8+6-12=2；
正八面體的頂點(diǎn)數(shù)為6，面數(shù)為8，棱數(shù)為12，則8+6-12=2；
則關(guān)系式為：頂點(diǎn)數(shù)（V）+面數(shù)（F）-棱數(shù)（E）=2

（2）∵有60個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)處都有3條棱，兩點(diǎn)確定一條直線；
∴共有60×3÷2=90條棱，
∴五邊形和六邊形的個數(shù)分別為12和20；
故答案為：頂點(diǎn)數(shù)（V）+面數(shù)（F）-棱數(shù)（E）=2．

點(diǎn)評：本題考是一個找規(guī)律的題目，查了歐拉公式，由特殊到一般的思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中常用到．