Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OEFG的頂點(diǎn)F坐標(biāo)為(4，2)，OG邊與y軸重合。將矩形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F落在y軸的點(diǎn)N處，得到矩形OMNP，OM
與GF交于點(diǎn)A.
小題1:判斷△OGA和△NPO是否相似，并說(shuō)明理由；
小題2:求過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)解析式；
小題3:若（2）中求出的反比例函數(shù)的圖象與EF交于B點(diǎn)， 請(qǐng)?zhí)剿鳎褐本�AB與OM的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
小題4:在GF所在直線上,是否存在一點(diǎn)Q,使△AOQ為等腰三角形.若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出          
所有滿足要求的Q點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

小題1:∵∠OGA=∠M=90°，
∠GOA=∠MON
∴△OGA∽△OMN；
小題2:∵AG：OP=OG：NP，∵OP=OG=2、PN=OM=OE=4，
∴AG=1
∴A（1，2）                             ………………3分
∴
小題3:AB⊥ OM                               ………………5分
代入得 B（4，），                      ………………6
∵AG：BF=OG：AF=2：3，∠AGO=∠BFA=90⁰
△OGA∽△AFB                             ………………7分
∴∠AOG=∠BAF  ∵∠AOG+∠OAG=90⁰
∴∠BAF+∠OAG=90⁰
∴ ∠OAB=90⁰                             
∴AB⊥OM                                 ………………8分
(其它方法酌情給分)
小題4:Q (1+, 2) 或Q(1－,2)                  ………………9分
Q(-1,2) 或  Q(-1.5,2)

（1）根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即可證明兩個(gè)三角形相似；
（2）要求反比例函數(shù)的解析式，則需求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，即要求得AG的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)圖形全等的性質(zhì)以及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求解
（3）求出B點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)△OGA∽△AFB ，求得∠OAB=90^0，從而得出結(jié)論
(4)分別有四種情況符合條件：AQ="OA" (由兩種情況)，OQ=OA,QA=OQ