Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0），已知拋物線y=x2+mx﹣2m（m是常數(shù)），頂點(diǎn)為P．

（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)．

①求頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②設(shè)直線l：y=3x+1與拋物線交于B、C兩點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為n（﹣1≤n≤3），過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線l交于點(diǎn)Q，若MQ=d，當(dāng)d隨n的增大而減少時(shí)，求n的取值范圍．

（2）無論m取何值，該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)H，當(dāng)∠AHP=45°時(shí)，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）①點(diǎn)P（﹣，﹣）；②1≤n≤3；（2）拋物線的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+8或或y=x2+4x﹣8或．

【解析】

（1）①將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式可得m值，再根據(jù)拋物線表達(dá)式確定頂點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；

②畫出函數(shù)圖象，聯(lián)立拋物線與直線表達(dá)式可得點(diǎn)B、C坐標(biāo)，易知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為n（﹣1≤n≤3）時(shí)，圖象對(duì)應(yīng)的是BC之間的部分，設(shè)點(diǎn)M（n，n2+n﹣2），點(diǎn)Q（n，3n+1），可得d與n的關(guān)系式，可知其對(duì)稱軸為n=1，根據(jù)d的增減性可確定n的取值范圍；

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣m，﹣m2﹣2m），由點(diǎn)A、H的坐標(biāo)知，AH=，tanα=4；點(diǎn)P存在在AH左右兩側(cè)的情況，①當(dāng)點(diǎn)P在AH右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)M作MR⊥AH于點(diǎn)R，設(shè)RM=4x=RH，則AR=x，根據(jù)AH=AR+RH可得x值，易知點(diǎn)M坐標(biāo)，由點(diǎn)H、M坐標(biāo)可得直線HM表達(dá)式，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入即可求出m值；②當(dāng)點(diǎn)P在AH左側(cè)時(shí)，同理求出點(diǎn)M坐標(biāo)及直線HM的表達(dá)式，將點(diǎn)P坐標(biāo)代入即可求出m值.

解：（1）①將點(diǎn)A（1，0）代入y=x2+mx﹣2m得，

解得

所以拋物線的表達(dá)式為y=x2+x﹣2，

點(diǎn)P（﹣，﹣）；

②函數(shù)圖象如圖1所示，

聯(lián)立拋物線與直線表達(dá)式

得：

解得x=﹣1或3，

當(dāng)x=﹣1時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

所以點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣1，﹣2）、（3，10），

故M的橫坐標(biāo)為n（﹣1≤n≤3）時(shí)，圖象對(duì)應(yīng)的是BC之間的部分，

設(shè)點(diǎn)M（n，n2+n﹣2），點(diǎn)Q（n，3n+1），

d=QM=3n+1﹣n2﹣n+2=﹣n2+2n+3，函數(shù)的對(duì)稱軸為：n=1，

當(dāng)d隨n的增大而減少，n≥1，而﹣1≤n≤3，

故1≤n≤3．

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣m，﹣m2﹣2m），

由點(diǎn)A、H的坐標(biāo)知，AH=，tanα=4；點(diǎn)P存在在AH左右兩側(cè)的情況，如圖2所示；

①當(dāng)點(diǎn)P在AH右側(cè)時(shí)，如圖，

過點(diǎn)M作MR⊥AH于點(diǎn)R，∠AHP=45°，tanα=4，

設(shè)：RM=4x=RH，則AR=x，

則AH=AR+RH=5x=，解得：x=，

則AM=x=，則點(diǎn)M（，0）；

由H、M的坐標(biāo)得直線HM的表達(dá)式為：y=﹣x+，

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式并整理得：3m2+34m+88=0，解得：m=﹣4或﹣；

②當(dāng)點(diǎn)P在AH左側(cè)時(shí)，如圖，

同理可得：點(diǎn)M（5，0），

則直線HM的表達(dá)式為：y=x+，

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式并整理得：7m2+48m+80=0，

解得：m=4或；

綜上，拋物線的表達(dá)式為：y=x2﹣4x+8或y=x2﹣x+或y=x2+4x﹣8或y=x2+x﹣．