Question

已知：在直角坐標(biāo)系中，E為第二象限內(nèi)一點(diǎn)，⊙E與x軸自左至右交于A、B兩點(diǎn)，直線PC切⊙E于C，交x軸于P，D為線段PC上一點(diǎn)，ED⊥BC，已知PB=2，△PBD的周長為。

（1）求證：DB是⊙E的切線；

（2）若拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，求m的值；

（3）在過P點(diǎn)的直線中，是否存在這樣的直線，該直線與（2）中的拋物線的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于2？若存在，求出這樣的直線的解析式；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）證：連結(jié)EC、EB，

∵PC切⊙E于C，   ∴∠ECP=90°，

∵EC=EB，EH=EH   ∵ED⊥BC于H，

∴△CEH≌△BEH，  ∴∠CEH=∠BEH，

∴△CED≌△BED，  ∴∠ECD=∠EBD=90°，

∴BD是⊙E的切線， ∴BD=DC。

（2）∵△PBD的周長為，PB=2，

∴    ∴，

∵PC切⊙E于C，PBA為⊙E的割線，

∴PC²=PB?PA    ∴12=2?PA   ∴PA=6，   ∴AB=4

∵拋物線與x軸交于A（x₁,0），B（x₂,0），x₁＜0，x₂＞0，

∴x₁+x₂=－2，x₁x₂=－4m＜0m＞0,

∵AB=4，

∴

     

∴4=1+4m         ∴     ∴。

（3）令y=0

∴x₁=－3,  x₂=1

∴A(－3,0),B(1,0)

∵PB=2,   ∴P(3,0)

設(shè)過P（3，0）的直線為y=kx－3k。

∴

∴x²+2(1－k)x－3+6k=0

設(shè)拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₃,x₄，

∴x₃+x₄=2(k－1)

x₃－x₄=6k－3

依題意：x₃+x₄=2

∴2(k－1)=2    ∴k=2,

當(dāng)k=2時(shí)，Δ=4(1－k)²－4(6k－3)

=4－4×9＜0

∴不存在這樣的直線。