Question

【題目】已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA．

∵∠OAD=∠DAE，

∴∠ODA=∠DAE．

∴DO∥MN．

∵DE⊥MN，

∴∠ODE=∠DEM=90°．

即OD⊥DE．

∵D在⊙O上，OD為⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，

∴ ．

連接CD．

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=∠AED=90°．

∵∠CAD=∠DAE，

∴△ACD∽△ADE．

∴ ．

∴ ．

則AC=15（cm）．

∴⊙O的半徑是7.5cm

【解析】連接OD，先證明DO∥MN，根據(jù)DE⊥MN，證明OD⊥DE．可得出DE是⊙O的切線。
（2）根據(jù)已知易證得△ACD∽△ADE．由相似三角形的性質(zhì)，得出對應邊成比例，建立方程求得AC的長，即可求出結(jié)果。